定积分计算中的一些技巧

施露芳

摘要：通过实例讨论了定积分计算中的奇偶性，不变限代换，周期性，几何意义以及方程（组），既丰富了定积分的计算方法，又提高了学生的计算能力。

关键词：定积分；奇偶性；不变限代换；周期性；方程

中图分类号：G4文献标识码：A文章编号：16723198（2015）04014201

在高等数学的教学中，定积分的计算占了相当的内容，特别是在自然科学，经济领域及实际生活中存在着大量的实际问题，最终都归结为定积分的计算。牛顿-莱布尼茨公式是计算定积分的一种有效工具，但在工程实践和科学研究中，经常会遇到被积函数是这样一些函数：（1）被积函数的原函数不能用初等函数形式表示；（2）被积函数本身形式复杂，如按常规计算，不仅费时，而且不易计算出结果。因此，为了满足实际需要，本文主要从5个方面总结了简化定积分的计算方法。

1对称区间上的定积分要注意函数的奇偶性

性质1：设f（x）在关于原点对称的区间[-a，a]上连续，则

（1）对一般函数，有∫a-af（x）dx=2∫a0[f（x）+f（-x）]dx；

（2）若f（x）为奇函数，则∫a-af（x）dx=0；

（3）若f（x）为偶函数，则∫a-af（x）dx=2∫a0f（x）dx。

例1：计算∫1-1x2sinx1+x4+1-x2dx

解：∫1-1x2sinx1+x4+1-x2dx

=∫1-1x2sinx1+x4dx+∫1-1x21-x2dx

=∫1-1x21-x2dx

===x=sint2∫π20sin2tcos2tdt=π8。

这里，把原积分化为两个积分和之后，第一个积分的被积函数为奇函数，直接利用性质，积分为零。第二个积分的被积函数为偶函数，利用性质，并使用了定积分的还原法得到了最后结果。

2一般区间上的定积分可使用“不变限代换”

性质1：设f（x）在[a，b]上连续，则∫baf（x）dx=∫baf（a+b-x）dx。

推论1：若f（x）满足f（x）+f（a+b-x）=k（k为常数），则∫baf（x）dx=k（b-a）2。

推论2：若f（x）满足f（x）+f（a+b-x）=g（x），则∫baf（x）dx=12∫bag（x）dx。

例2：计算∫π401-sin2x1+sin2xdx

解：用不变限代换x+t=π4，则∫π401-sin2x1+sin2xdx=∫π401-sin2（π4-x）1+sin2（π4-x）dx

=∫π401-cos2x1+cos2xdx=∫π40tan2xdx=∫π40（sec2x-1）dx=1-π4

例3：计算∫π4-π4cos2x1+exdx

解：由于f（x）+f（-x）=cos2x1+ex+cos2x1+e-x=cos2x，

因此∫π4-π4cos2x1+exdx=12∫π4-π4cos2xdx=π4+12

3周期函数在一些特殊区间上的定积分

性质1：设f（x）是连续的周期函数，周期为T，则

（1）∫a+Taf（x）dx=∫T0f（x）dx

（2）∫a+nTaf（x）dx=n∫T0f（x）dx

例4：计算∫nπ01+sin2xdx

解：由于1+sin2x是以π为周期的周期函数，利用上述结论，有

∫nπ01+sin2xdx=n∫π01+sin2xdx=n∫π0sinx+cosxdx=2n∫π0sin（x+π4）dx

=2n∫5π4π4sintdt=2n∫π0sintdt=2n∫π0sintdt=22n

4利用定积分的几何意义，计算一些定积分

定积分的几何意义：∫baf（x）dx表示由直线x=a，x=b，y=0及曲线y=f（x）所围成的图形（称为曲边梯形）的面积的代数和。

例5：计算∫2-24-x2dx

解：由定积分的几何意义：∫2-24-x2dx表示圆心在原点，半径为2的上半圆的圆的面积，所以∫2-24-x2dx=2π。

5利用建立方程与方程组计算定积分

在计算过程中，通过解方程（组）的方式求定积分。

例6：计算∫π20exsinxdx

解：原积分I=∫π20exsinxdx=[exsinx]π20+∫π20excosxdx

=eπ2-∫π20cosxdex==eπ2+1-∫π20exsinxdx

=eπ2+1-I

得方程：I=eπ2+1-I，从而I=12（eπ2+1）。

例7：计算I=∫π20cosxsinx+cosxdx和J=∫π20sinxsinx+cosxdx

解：I+J=∫π201dx=π2，

I-J=∫π20cosx-sinxsinx+cosxdx=∫π201sinx+cosxd（sinx+cosx）=0

∵I+J=π2

I-J=0∴I=J=π4

以上总结了定积分计算中的一些技巧和方法。我们在具体的解题过程中，除了应用常规的解题方法，还要注意对具体问题，具体分析，有时可以简化我们的计算。同时，在教学和学习过程中，还要不断探索，提高利用数学知识分析问题，解决问题的能力。

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育社，2006.

[2]周彩连.定积分计算中的“不变限代换”[J].高等数学研究，2009.

[3]罗威.定积分计算中的若干技巧[J].沈阳师范大学学报，2010.