基于更新过程极端值冲击模型的概率结构分析

汪叶娜,姜培华,于 曼,叶晓卿

(安徽工程大学数理学院,安徽 芜湖 241000)

基于更新过程极端值冲击模型的概率结构分析

汪叶娜,姜培华,于 曼,叶晓卿

(安徽工程大学数理学院,安徽 芜湖 241000)

冲击模型是可靠性数学理论的主要内容之一，冲击模型研究的中心问题是系统失效时间和系统寿命。建立一类极端值冲击模型，在系统工作环境承受冲击到来服从更新过程条件下，讨论系统失效时寿命和冲击总量的概率分布、期望和方差。在更新间隔和冲击强度都服从指数分布条件下，给出一个应用实例。

更新过程;极端值冲击模型;寿命分布;可靠性指标

0 引 言

1 模型的建立与假设

引理2[7]设X1、X2,…是独立同分布的随机变量，且方差存在。随机变量N只取整数值，Var(N)存在，且N与{Xn}独立，则

2 结果及证明

τδ=min{n∶Yi≤δ,i=1,2,…,n-1;Yn>δ}

定理1 在上述极端值冲击模型中，系统失效时受到的冲击总次数τδ是一个随机变量且服从几何分布，即τδ～Ge(pδ)。

证明 假设冲击强度Yn的密度函数和分布函数分别为g(y)和G(y)，记

注意到Yn独立同分布，可得

P(τδ=k)=P(Yi≤δ,i=1,2,…,k-1;Yk>δ)

=P(Yi≤δ,i=1,2,…,k-1)P(Yk>δ)

从而可知随机变量τδ～Ge(pδ)。

证明 由定理1知τδ～Ge(pδ)，利用几何分布期望和方差的计算公式易得结论成立。

定理2 在上述极端值模型中，系统失效时寿命T具有下述性质：

证明 (1)利用分布函数的定义可得

(2)易知τδ是冲击来到过程的停时，故利用引理1和引理2可得：

定理3 在上述极端值模型中，系统失效时所受的冲击总量A具有下述性质：

证明 (1)利用分布函数的定义可得

(2)易知τδ是冲击来到过程的停时，故由引理1可得

考虑到冲击强度Yn与更新过程{N(t),t≥0}是独立的，利用引理2有：

3 应用举例

某系统在工作环境中受到来自外界的随机冲击，假设冲击来到间隔{Xn,n=1,2,…}独立同分布于指数分布exp(1/2)，冲击强度{Yn,n=1,2,…}独立同分布于指数分布exp(1/3)，冲击强度{Yn,n=1,2,…}与冲击来到过程独立，给定系统失效所需冲击强度的门限值δ=6，试计算分析系统失效时寿命T和所遭受的冲击总量A的概率分布和数字特征。

解 由于冲击强度Yn独立同分布于指数分布exp(1/3)，计算可得pδ=e-2，从而利用定理1可知τδ～Ge(e-2)。考虑到指数分布exp(1/2)即为伽玛分布Γ(1,1/2)，利用伽玛分布的可加性并结合定理2和定理3可得：

(1)系统失效时寿命T的概率分布函数、期望和方差为：

(2)系统失效时所受冲击总量A的概率分布函数、期望和方差为：

[1]李泽慧，白建明，孔新兵.冲击模型：进展与应用[J].数学进展，2007，36(04)：385-398.

[2]李泽慧，黄宝胜.一种冲击源下冲击模型的寿命分布及性质[J].兰州大学学报，1999，35(04)：1-7.

[3]王丙参，魏艳华，戴宁.损伤可加冲击模型的可靠性指标[J].北京联合大学学报：自然科学版，2012，26(01)：66-69.

[4]王丙参，李艳颖，常振海.Poisson-Geometric过程在可靠性理论中的应用[J].齐齐哈尔大学学报，2012，28(03)：83-85.

[5]姜培华，范国良.基于复合负二项随机过程冲击模型的可靠性分析[J].高师理科学刊，2013，33(02)：11-12.

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[7]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2011：45-94.

[责任编辑：郑秀亮 英文编辑：刘彦哲]

Probabilistic Structural Analysis of Extreme Shock Model Based on Renewal Process

WANG Ye-na,JIANG Pei-hua,YU Man,YE Xiao-qing

(School of Mathematics and Physics,Anhui Polytechnic University,Wuhu，Anhui 241000,China)

Shock model is one of the main contents of the mathematical theory of reliability.The center problem of shock model is the study of system failure time and the system lifetime.Setting up a class of extreme shock model and under the condition of the working environment of system withstanding shocks which arrive by obeying a renewal process,the probability distribution,expectation and variance of lifetimeTand the total impactAabout the system are discussed in this paper.Finally under the condition of the renewal interval and impact intensity obey exponential distribution,an applied example is given.

renewal process;extreme shock model;lifetime distribution;reliability index

国家自然科学基金资助项目(11401006)；安徽省2014年级大学生创新创业训练计划项目(AH201410363290)；安徽工程大学教学研究项目(2014jyxm32)

汪叶娜(1993-)，女，安徽芜湖人，安徽工程大学理学院2015届学生。

姜培华(1979-)，女，山东曹县人，安徽工程大学数理学院讲师，硕士，研究方向为概率统计和随机过程。

O 213.2

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2015.04.003

来稿日期：2015-03-09