平面直角坐标系重难点突破

秦玉芳

平面直角坐标系的建立架起了数与形之间的桥梁，是数形结合的具体体现，也是后面进一步研究函数及函数图像的基础，它在整个初中数学学习中起着举足轻重的作用.为了让同学们更好地掌握本章内容，下面给同学们解读一下几个难点：

难点一 物体位置的确定

我们根据实际问题，用“标志物定位法”、“行列定位法”、“方向角、距离定位法”、“经纬定位法”等方法来确定物体的位置.

（1）我们通常用数对在一个选定了参照物的平面内描述物体的位置及其位置变化的情况.

（2）用一个数据可以确定一条直线上点的位置.但确定平面内点的位置必须要两个数据，平面内点位置与一对有序实数之间存在一一对应关系.

例1 如图，雷达探测器测得六个目标A、B、C、D、E、F出现.按照规定的目标表示方法，目标C、F的位置表示为C（6，120°）、F（5，210°）.按照此方法在表示目标A、B、D、E的位置时，其中表示不正确的是（ ）

A.A（5，30°） B.B（2，90°） C .D（4，240°） D.E（3，60°）

【分析】 C（6，120°），F（5，210°），依据此规律可知A（5，30°），B（2，90°），D（4，240°），E（3，300°）因此不正确的是E点的表示方法.故选D

【点评】本题考查的是阅读理解能力，由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键.

难点二 直角坐标系中点的对称关系

一般地，点P（a，b）关于x轴对称的点为 P′（a，-b），关于y轴对称的点为P′′（-a，b），关于原点对称的点为P′′′（-a，-b）.

例2 已知△ABC在直角坐标系中的位置如右图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为（ ）

A.（-4，2） B.（4，2） C .（-4，-2） D.（4，-2）

【分析】根据点的对称规律答题.关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，因此点A（-4，2）关于y轴对称的点的坐标是（4，2）.故选B.

【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化即关于y轴对称，利用关于y轴对称点的坐标性质是解题关键.

难点三 图像变换中点的坐标

（1）平移变换前后对应点的坐标变化规律：

一个图形沿x轴（或沿平行于x轴的直线）平移m个单位长度后所得到的图形与原图形的对应定点坐标之间的关系是：各对应顶点的纵坐标不变，横坐标分别减去或加上m（向左平移用减法，向右平移用加法）.

一个图形沿y轴（或沿平行于y轴的直线）平移m个单位长度后所得到的图形与原图形的对应定点坐标之间的关系是：各对应顶点的横坐标不变，纵坐标分别减去或加上m（向下平移用减法，向上平移用加法）.

（2）对称变换前后对应点的坐标的变化规律：

一个图形沿x轴对着，则翻折前后两个图形的对应顶点坐标之间的关系是：横坐标相等，纵坐标互为相反数.

一个图形沿y轴对着，则翻折前后两个图形的对应顶点坐标之间的关系是：纵坐标相等，横坐标互为相反数.

（3）在同一直角坐标系中，一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形的对应顶点坐标之间的关系是：横坐标和纵坐标都互为相反数.

例3 如图，在平面直角坐标系中，图①中的图案“A”中，O（0，0），B（4，0），C（2，4），M（1，2），N（3，2），图②和③都是由图①变换而得到：

（1）图②中与点M，N对应的点的坐标分别是__________.

（2）图③中与点M，N对应的点的坐标分别是__________.

（3）在图④中画出由图①中图形向右平移3个单位后的图形，并写出此时点M，N对应的点的坐标.

【分析】（1）由于C点的坐标是（2，4），C′点的坐标是（4，4），所以M、N两点的坐标纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍即可；

（2）根据关于x轴对称的点的坐标特点求出图③中与点M，N对应的点的坐标即可；

（3）根据图形平移的性质画出向右平移3个单位后的图形，根据图形写出点M，N对应的点的坐标即可.

解（1）∵由于C点的坐标是（2，4），C′点的坐标是（4，4），

∴M、N两点的坐标纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，

∵图①中M（1，2），N（3，2），

∴图②中，M（2，2），N（6，2），

故答案为：（2，2），（6，2）；

（2）∵△OBC′由△OBC沿x轴翻折而成，

∵图①中M（1，2），N（3，2），

∴图③中与点M，N对应的点的坐标分别是 （1，-2），（3，-2）.

故答案为：（1，-2），（3，-2）；

（3）如图所示，坐标为（4，2），（6，2）.

【点评】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移后所得新图形与原图形全等的性质是解答此题的关键.