“等时圆”模型及形异质同的“等时圆”

宋早雷

摘 要：在处理物理问题时，常常借助熟知的模型，如，质点模型、子弹打木块模型、人船模型、等时圆模型……这样可以把复杂情景简明化，抽象问题具体化，疑难问题清晰化，下面着重来研究一下“等时圆”模型及形异质同的“等时圆”问题。

关键词：模型；等时圆；最高点；最低点；形异质同的“等时圆”

一、“等时圆”模型的建立

如图1所示，ac、bd是竖直面内两根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，b点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），两个滑环分别从a、d处自由释放（初速为0），用t1、t2依次表示两滑环到达c和b所用的时间，则它们的时间t1、t2分别为多少？

分析：设圆的半径为R，ac杆与水平面的夹角为α，则ac杆的长度L=2Rsinα ①

滑环沿ac杆下滑的加速度a=gsinα ②

设下滑时间为t1，则L=at21 ③

由以上三式得，t1=2，同理可得滑环从d到b的t2=2。可见滑环下滑时间与细杆倾角无关，都等于物体从圆上最高点自由下落到最低点的时间，即t=2。

由此我们可以得出“等时圆”模型的两个结论：

结论1：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑到圆的最低点，则到达圆的最低点的时间相等，或从圆上最高点由静止沿光滑弦下滑到圆周上各位置的时间相等。

结论2：物体在圆上沿光滑弦从静止下滑到圆的最低点的时间等于物体在圆上沿光滑弦从最高点下滑到圆周上各位置的时间，都等于物体从圆上最高点自由下落到最低点的时间，即t=2。

二、形异质同的“等时圆”模型

如果质点不是从圆的最高点下滑或不是到达圆的最低点时，我们应怎样处理此类问题呢？

这就是下面我们要研究的形异质同的“等时圆”模型。

例题1：如图2所示，oa、ob、oc是竖直面内三根固定的光滑细杆，o、a、b、c、d位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从o点无初速释放，用t1、t2、t3依次表示滑环到达a、b、c所用的时间，则有（ ）

A.t1=t2=t3 B.t1>t2>t3 C.t1t1>t2

分析：由于o点不是最高点或最低点时间上看，不满足“等时圆”模型条件。过o点做一条竖直线，再分别过a、b、c做oa、ob、oc的垂线交竖直线与p、q、e。如图3所示，利用结论2得，沿oa的运动时间t1即是由o点自由下落到p的时间。t2、t3同理可得，故答案是B。

例题2：如图4所示，ao、bo、co是竖直面内三根固定的光滑细杆，o、a、b、c、d位于同一圆周上，d点为圆周的最低点，c点为最高点。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c三点无初速释放，用t1、t2、t3依次表示滑环到达o所用的时间，则有（ ）

A.t1>t2>t3 B.t1

C.t3>t1>t2 D.t1=t2=t3

分析：由例题1分析同理可得，如图5，故答案是A。

例题3：如图6所示，e、f分别为圆周的最高点和最低点，一小滑块（可视为质点）分别沿着圆周上的斜面ab、cd滑下，用t1、t2分别表示小滑块由静止沿斜面从a到b、c到d的时间，则t1、t2的关系是（ ）

A.t1=t2 B.t1>t2 C.t1

解析：由于a、c两点不是最高点，b、d两点也不是最低点，直接从时间看，也不满足“等时圆”模型条件。现在过a、c两点分别做两条竖直线，再分别过b、d两点做斜面ab、cd的垂线交两竖直线于p、q两点，如图7所示，利用结论2可得，t1=tap，t2=tcq，故通过判断竖直线ap和cq的长度即可得答案是C。

注意：几何作图时一定要细致、准确。

从上面形异质同的“等时圆”的三个例题，我们可以清晰地得到这样一个结论：

结论3：质点从圆上较高点（不是最高点）沿光滑弦或轨道由静止下滑到圆上较低点（不是最低点）的时间只由过光滑弦或轨道的较低点（不是最低点）作垂线交过起点的竖直线于某一点，则质点沿光滑弦或轨道由静止下滑的时间就等于质点从起点到这一点自由下落的时间。

总之，我们在处理物体从圆上沿光滑弦或轨道由静止下滑到圆上的某一点的时间问题时，我们应先分清物体是不是从圆上最高点由静止下滑到圆周上的不同点，还是从圆上不同点由静止下滑到圆周的最低点问题。如是这类问题我们可直接用“等时圆”模型处理。如果遇到是物体从圆上较高点（不是最高点）沿光滑弦或轨道由静止下滑到圆上较低点（不是最低点），我们应掌握形异质同“等时圆”的解题的基本规律。只有这样我们才能从纷繁、多变、形异的物理情景中构建出质同的“等时圆”模型，才能利用好“等时圆”模型，才能更深刻地理解“等时圆”模型的理论意义及实际的应用意义。

参考文献：

陈栋樑.“等时圆”的等时“原理”在物理问题解决中的妙用[J].物理教师，2013（3）：28.