例谈数学解题中的模型构造

杨歆

摘 要： 数学解题中有很多问题具备模型特征，即所谓模式识别.解题正是将陌生情境下的问题不断转化为熟悉背景而解决，这需要教学对数学模型的不断归纳和更新.

关键词： 数学解题 模型 模式识别 转化化归

根据问题的条件和结论、性质和特征，构造出某种模型，通过对模型的解释和研究，实现问题的解决.这是数学中的常用思想方法，它对人们进一步认识数学知识的内在规律和联系，提高抽象概括能力，都大有裨益.数学中的这种模型构造解决问题方式，一般称之为模式识别.模式识别是数学教学中很常见的一种方式，其优点将与相关知识点联系的问题、变式、可能考查方向均一一进行了识别，可以提高学生对于单一知识点、整合知识考查的理解力，使学习更简洁和高效.

1.构造方程模型

方程是解数学问题的一个重要工具，许多数学问题可以根据其数量关系，在已知和未知之间搭建方程的桥梁，通过建立数量关系的方程，将问题轻松地解决.方程思想贯穿于高中数学教学的始终，如何利用好方程模型是函数等章节教学的关键.

例1：已知： =1，求证：b ≥4ac.

分析：考虑问题的结论，很自然由b 、4ac容易联想到方程的判别式，因此不妨由已知条件提供的一个等式，把它转化为方程，则结论便成为方程性质的讨论.考虑到b ≥4ac，因此构建的方程应该是存在实根的方程，因此可以设法构造一个二次方程.

解析：已知等式可化为 b-2c=a，在等式两边同除以2可得： - b+c=0，我们可以把它看成a（- ）+b（- ）=0，这表明二次方程ax +bx+c=0有实根x=- ，从而判别式非负，得b ≥4ac.

2.构造平面模型

根据题目提供的信息，构造出符合题设或结论的图形，如三角形、正方形、曲多边形，借助于图形，化代数条件为长度、面积等几何结论，模型构造中常用到诸如勾股定理、正余弦定理、边角关系等.

例2：若p∈R，|log p|<2时，不等式px+1>2x恒成立，求x取值范围.

分析：由|log p|<2可得：

，所以使不等式px+1>2x恒成立的x取值范围为-

例3：若a，b，c均是小于1的正数，求证：

+ + + ≥2

分析：从题型上看这是个纯代数题.但用代数法证非常难.如果把左边的式子用几何意义来理解，可以看做是直角三角形的斜边，按如图2构造一个正方形，并按图划分为四个矩形.显然OD= ，OC= ，AO= ，OB= ，可知：AO+OC+OD+OB≥AC+BD=2 ，当且仅当O为AC与BD交点时，即：a=b= 时取等号.即：原不等式成立.且当a=b= 时取等号.

说明：构造平面模型本质上是数形结合思想中以数解形的一种运用，如何将数形结合思想方法积极渗透、合理落实到教学中，这需要教师用一些具备思维开拓性的问题加以引领，通过这些构造类问题，学生能渐渐理解数学问题解决的多样性和开放性，体现以形解数的重要性，提高数学学习的发散思维和主动性.

3.构造不等式模型

不等式是最体现学生思维能力的章节，很多高考难题或竞赛难题都是以不等式为背景编制，新课程高考中既灵活又方法多样，既区分学生基本功又能找到能力出众的学生，是利用什么数学知识判别的呢？笔者认为是不等式和向量.可以发现，不等式灵活度非常大，而且著名的不等式层出不穷，历来受到竞赛考试的青睐，成为区分学生数学能力的重要知识.

例4：解方程[sin x+sin （ -x）][cos （ -x）]=

分析：左边具有（a +a ）（b +b ）形式，因此以柯西不等式为相似模型.

解析：以柯西不等式为相似模型，有[sin x+sin （ -x）][cox x+cos （ -x）]

≥[sinxcos（ -x）+xin（ -x）cos] =sin （x+ -x）= ，当且仅当 = 时取等号，故sin2x=sin（ -2x），从而解得x= + （k∈Z）.

说明：本题是以三角为背景编制的柯西不等式问题，是属于柯西二维形式的基本运用，合理地运用不等式，利用等号成立的条件，解决原题等式问题.这种处理方式对于学生而言，是构造思维的一种极大的跳跃和提升，能促进优秀学生对于知识的整合使用有更深的认识和学习，对于其知识的运用有着较大的帮助.

4.构造解析几何模型

例5：求函数y= 的最值.

解析：令u= v= ？圯 + =1，（0≤u≤2，0≤v≤ ）（*），构造椭圆曲线，则表示椭圆（*）（第一象限部分，包括M ，M ）上一点M（u，v）与点A（-2，- ）两点连线的斜率.由图可知，MA的斜率范围是： ≤y≤ ，即当x=1时y = ，当x=2时y = .

说明：函数问题利用椭圆解决，是构造模型中换元思想的具体展示，以整体思想介入后的换元，足以将变量之间的原型表露无遗，是一种优秀的构造方式.

总之，构造法解决数学问题是立足于扎实的双基之上的数学解题技巧和思维灵活转换的体现，教师要在教学中积极引导学生将问题不断转化化归，将其陌生背景下的数学本质通过转化表现出来，利用头脑中存储的模式识别模型选择合理的解决方式，引入熟悉的问题情境去解决，是构造法使用的主要思想依据.限于笔者才疏学浅，本文未对很多其余模型做出构造说明，请读者补充和指正.

参考文献：

[1]李云.运用整体思想求数列[J].中学数学教学参考（上半月），2009，10.

[2]罗增儒.数学解题学引论[M].陕西师范大学出版社，2002.