例谈一元一次不等式（组）中的数学思想方法

钱小刚

课堂教学中渗透数学思想、数学方法是非常必要的.它包括培养学生通过观察、分析，综合概括抽象出概念、性质的能力，对知识进行分类，系统化的能力；也包括运用运动变化的观点，矛盾转化的思想分析问题和解决问题的能力.本文就结合一元一次不等式（组）的教学，谈谈如何渗透类比思想、数形结合和建模的的数学思想方法.

一、 数形结合的思想方法

在解决代数问题时，我们可以借助图形，直观而形象，易于理解. 体现在不等式组上，即找各个不等式的公共解时，可以利用数轴来解决问题.

例1 解不等式组x-3<0，①

x+1>0.②

解：由①得，x<3，由②得，x>-1，所以不等式组的解集为-1

【说明】不等式的解也是组成它的每个不等式的解，即不等式组的解是每个不等式的公共解，体现在图形上为每个解集都包含的部分.

二、 类比思想方法

解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤基本上一样，不同的是解一元一次不等式根据的是不等式的性质，而解一元一次方程根据的是等式的性质；特别应注意的是化系数为1时，若除以（或乘以）的是一个负数时，解不等式时不等号的方向要改变，而解一元一次方程只要系数不为0，所得的方程与原来的方程同解. 通过类比，加深了对它们的理解，避免了一些不该犯的错误.

例2 解不等式 2（x+5）>3（x-5）.

解：去括号，得2x+10>3x-15，

移项，得2x-3x>-15-10，

合并同类项，得-x>-25，

系数化为1，得 x<25.

例3 解方程 2（x+5）=3（x-5）.

解：去括号，得2x+10=3x-15，

移项，得2x-3x=-15-10，

合并同类项，得-x=-25，

系数化为1，得x=25.

【说明】通过这两道例题，可以发现它们的解题步骤相同，但是所用的性质不同，加强学生在解一元一次不等式时改变符号的意识.

三、 建模的思想方法

在日常生活中，利润的优化，方案的设计等都有不等关系，所以建立不等式模型解决实际问题也是我们数学中的一种很好的思考方法.

例4 君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产. 甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同.

（1） 求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？

（2） 君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元. 现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，君实机械厂甲、乙两车间在没有库存的情况下只生产8天，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15 000元而不超过15 080元. 请你通过计算为青扬公司设计购买方案.

解：（1） 设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产（x+2）件A种产品.

根据题意3（x+2）=4x；解得x=6；∴x+2=8.

答：甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品.

（2） 设青扬公司购买B种产品m件，则购买A种产品（80-m）件，

∵15 000<200（80-m）+180m≤15 080，∴46≤m<50.

∵m为整数，∴m为46或47或48或49；又∵乙车间8天生产48件，∴m为46或47或48.

∴有三种购买方案：购买A种产品32件，B种产品48件；购买A种产品33件，B种产品47件；购买A种产品34件，B种产品46件.

【说明】本题以产品的加工与经销问题背景，借助方程与不等式，进行方案设计，突出考查了学生综合运用方程与不等式知识解决实际问题的能力，体现了建模的数学思想.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）