例谈高中生物学中“表达式数学模型”的构建与分析

罗雪飞

摘 要 通过构建数学模型并进行分析与应用，有助于提高学生对图表等数学形式的分析能力，促进学生知识的综合与深化。

关键词 模型构建 表达式数学模型 指数增长

中图分类号

表达式数学模型最典型的例子是浙科版必修三“种群的增长方式”中“指数增长”这一内容的模型教学。通过“种群的特征”一节的学习，学生知道出生率和死亡率直接决定种群个体数量大小，年龄结构（指各个年龄组个体数量在种群中所占的比例关系）预测未来种群个体数量，性别比率对种群个体数量有一定的影响，那么种群数量在怎样的条件下会出现指数增长呢？

1 构建表达式

教师播放细菌分裂的录像或演示细菌分裂的计算机模拟动画，学生基于已有的数学知识进行演算。教师提示：在自然界中细菌无处不在，某些细菌的大量繁殖会导致疾病。假如现有一种细菌，在适宜的温度、湿度等环境下，每20 min左右分裂繁殖一代。引导学生思考：细菌的繁殖方式是怎样的？72 h后，由一个细菌分裂产生的后代数量是多少？n代后细菌数量是多少？

细菌的繁殖方式为二分裂。细菌每20 min分裂繁殖一代，72 h后将由1个细菌变成2216个，n代细菌数量为2n个。

以上种群是个例，其他生物种群的起始数量不一定是1，下一代也不一定是上一代的2倍，而且繁殖周期通常要长，那么，如何建构适用于更多种群的一般表达式？

教师给出任务：已知食物、空间充足，某种群的起始数量为N0，t为时间，Nt表示t年后该种群的数量。假设种群数量每年以一定的倍数增长，第二年是第一年的λ倍。你能建构出这个种群增长的数学表达式吗？请试试看吧。

Nt=N0λt

N0为起始数量，t为时间，Nt表示t年后人口的数量，λ为年均增长倍数。

2 表达式成立的条件

种群数量的增长受多种因素的影响。气候是对种群影响最强烈的外源性因素，特别是极端的温度和湿度。如连续几天的38℃高温常可以引起蚜虫种群数量的急剧下降。食物不足时，种群内部会发生激烈斗争，使很多个体不能存活或不能生殖。病原物和寄生物的致病力和传播速度是随着种群密度的增加而增加的。种群密度越大，移殖增长的作用也越强，对种群数量调节起着重要作用。动物的领域行为对种群密度也具有明显的调节作用。啮齿动物在种群密度过大时，会引起雌鼠排卵功能减退，容易流产，母鼠泌乳过程受到抑制，对仔鼠照顾不良、行为反常、好斗等。这些生理变化会使鼠的生殖力下降、死亡率增加和迁出率上升，因而导致种群数量迅速下降。种群数量增长要符合上述表达式模型，必须是在资源无限、空间无限和不受其他生物制约的理想条件下。

3 模型的分析

在上述理想条件下，种群会呈指数增长。指数增长的特点是：起始增长很慢，但随着种群基数的加大，增长会越来越快，每单位时间都按种群的一定百分数或倍数增长，其增长势头强大。将表达式数学模型转化为曲线型数学模型将有利于对模型的分析。

以横坐标为时间，纵坐标为种群数量，指数增长曲线很像英文字母J，又称“J”形增长曲线，如图1所示。

种群增长速率=（现有个体数-原有个体数）/增长时间（有单位，如个/年）。

种群增长率=（现有个体数-原有个体数）/原有个体数×100（无单位）。

指数增长的种群增长速率、增长率分别如何变化？

以上述表达式为例：

Nt=N0λt

N0为起始数量，t为时间，Nt表示t年后人口的数量，λ为年均增长倍数。

种群年增长速率=Nt—Nt-1=N0λt-N0λt-1=N0λt-1（λ-1）

种群年增长率=（Nt—Nt-1）/Nt-1=（N0λt-N0λt-1）/ N0λt-1=（λ-1）

如果把以上表达式转化成曲线图，则可以更直观地感受到种群指数增长的特点，如图2所示。

4 模型的应用

生态学家研究发现，东方田鼠种群迁入初期种群数量很少，一个月内随着水稻和芦苇等作物种植面积的不断扩大而迅速增长。为研究东方田鼠的种群数量的变化规律，生态学家构建了表达式数学模型：Nt=N0λt，该数学表达式成立的前提条件是什么？从环境容纳量的角度思考，提出两项控制东方田鼠数量的有效措施。

题中的情况应该属于物种入侵，典型的J型增长曲线，那么相对应的假设就是东方田鼠生存的空间和食物是足够的，且当地的气候适宜，缺少天敌。第二问也就迎刃而解了。

高中生物学教材中，这种表达式数学模型涉及到的知识点有很多。脱氧核苷酸序列与遗传信息的多样性，碱基与氨基酸对应关系，调查人群中的遗传病，用数学方法讨论基因频率的变化，探究自然选择对种群基因频率的影响等。教师把数学的思维引入到生物学科，不仅能让学生感受到生物学科的严谨，也能让学生感受到不同学科知识时间的交叉与融合。

不难想象，地球上哪怕有一种生物按指数增长无限增长下去，这种生物最终就会把其他生物从地球上排挤掉，同时自己也走向毁灭。即使在有限时间内实现指数增长也常常会造成种群“爆炸”或“害虫猖獗”的毁灭性后果。 文献标识码