Matlab在“函数的极限”教学中的应用举例

王闪闪++陈晓++苏倩倩

摘要：极限是微积分的基本工具和重要思想。该文利用Matlab画图工具，画出几个函数图形。借助于图形分析函数的极限，使学生印象深刻，更加清楚明了。

关键词：极限；微积分；Matlab；图形

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）24-0097-02

An Example of the Application of Matlab in “Limit of Function” Teaching

WANG Shan-shan， CHEN Xiao， SU Qian-qian

（Zhengzhou Chenggong University of Finance and Economics， Zhengzhou 451200 ，China）

Abstract： Limit is the basic tool and important thought of calculus. In this paper， by using the drawing tool in Matlab， we draw several function graphics. With the help of the graphics， we analysis the functions limit， so that causes the students impressive and more clear.

Key words： limit； calculus； matlab； graphic

微积分是三本院校偏文科类新生的一门重要的公共基础课，对于锻炼学生的逻辑思维能力、空间想象能力等起到关键作用，也是学生升学深造的一门考试课程。微积分课程本身比较抽象，理论性强，而且三本院校学习微积分的学生大部分都是文科生，他们数学基础薄弱，对学习数学不自信，普遍感到学习数学很吃力。

数列的极限和函数的极限是微积分里首先接触到的重要章节，后边很多重要的概念，例如：函数的连续性、可导、可积等都是借助于极限来定义的，因此极限是微积分的重要思想和基本工具，学好这一部分内容可以为后续内容打好基础，而且可以增加学生学习微积分的自信心。

如何改革教学方式，提高课堂效率成了微积分这门课程的改革热点。在授课方式上，可以将传统的黑板板书讲授和现代计算机软件相结合。Matlab 软件具有作图和数值计算的优势，可以生动表现函数图像，帮助学生想象、理解，同时有利于激发学生的学习兴趣。本文挑选几个稍微复杂点而且相互之间容易混淆的函数，教材中一般没有给出它们的图形，我们借助于Matlab的画图工具，将它们的图形展现出来，帮助学生理解记忆。

1 几个函数的图像及其极限分析

1）[limx→∞x?sinx]

程序：

>> x=-40：0.01：40；

>> y=x.*sin（x）；

>> plot（x，y）

>> title（'y=x*sin（x）'）；

>> xlabel（'x'）；

>> ylabel（'y'）；

如图1，可以观察到极限[limx→∞x?sinx]不存在。

借助于图像我们这样分析：虽然[x]趋向于无穷大，但是[sinx]是在-1和1之间取值的周期函数，它会把函数值不时的拉回到0，因此，随着[x→∞]，整个函数在[x]轴上下振荡，其振幅逐渐增大，函数没有极限。另外，我们说当[x→∞]时，函数[fx=xsinx]是无界变量但不是无穷大量，因为[fx]可以要多大有多大，但并不是从某个时刻之后总成立。用Matlab画出函数[fx=xsinx]的图形，学生一目了然，加强了学生对无界变量和无穷大量之间的关系的认识。

2） [limx→0sin1x]

程序：

>> subplot（1，2，1）；

>> fplot（'sin（1/x）'，[-0.001，0.001]）；

>> title（'y=sin（1/x）'）；

>> xlabel（'x'）；

>> ylabel（'y'）；

>> subplot（1，2，2）

>> fplot（'x*sin（1/x）'，[-0.001，0.001]）；

>> title（'y=x*sin（1/x）'）；

>> xlabel（'x'）；

>> ylabel（'y'）；

对于极限[limx→0sin1x]（图2左），可以清楚地观察到在原点附近函数[y=sin1x]的值在-1 与 1 之间波动，没有极限。理论分析：当[x→0]时，[1x→∞]。对于周期函数[y=sint]，易知当[t→∞]时，[y=sint]没有极限，函数在-1和1之间周期振荡。回头来说，则[limx→0sin1x]不存在极限，[x=0]称为函数[y=sin1x]的振荡间断点。

3） [limx→0x?sin1x]和[limx→∞sinxx]

在学习无穷小量这一节的内容时，我们证明过一个定理：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量。利用这个结论，虽然[limx→0sin1x]不存在，但[x→0]为无穷小量，所以函数[sin1x]乘以一个无穷小量后[limx→0x?sin1x]为无穷小量，因而极限为0。观察函数[y=x?sin1x]的图形（图2右），当[x→0]时，函数值不断振荡，但离0越来越近，极限为0。

同时，我们可以快速给出极限[limx→∞sinxx=0]。第一种思路：[limx→∞sinxx=limx→∞1x?sinx]，当[x→∞]时，[1x]为无穷小量，[sinx]为有界变量，无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，因此该极限为1；第二种思路：借助于前边得到的结果[limx→0x?sin1x=0]来求该极限，即[limx→∞sinxx=t=1xlimt→0t?sin1t=0]。函数在形式上容易混淆，要分清楚极限过程，发现两个极限的实质是一样的。观察图形（图3），随着[x]的无限增大，函数[sinxx]的图形沿[x]轴上下振荡，振幅逐渐减小，趋向于0。

4） [limx→0sinxx]与[limx→∞x?sin1x]

程序：

>> x=-6*pi：0.001：6*pi；

>> y=sin（x）./x；

>> plot（x，y）

>> text（0，1，'o'）

>> title（'y=sin（x）/x'）；

>> xlabel（'x'）；

>> ylabel（'y'）；

一般，在微积分教材中，都会把[limx→0sinxx]当做一个重要的极限来讲解，利用极限存在的“夹逼准则”证明出[limx→0sinxx=1]。现在本文给出函数[sinxx]的图形（图3），一目了然，当[x→0]时，函数[sinxx]的极限为1。

同时，我们可以快速给出极限[limx→∞x?sin1x=1]。思路为：[limx→∞x?sin1x=limx→∞sin1x1x][=t=1xlimt→0sintt=1]。另外，函数[x?sin1x]的图形（图2右）也已经给出，非常清楚直观。

2 结束语

本文一共介绍了6个函数的极限：[limx→∞x?sinx]不存在，[limx→0sin1x]不存在，[limx→0x?sin1x=limx→∞sinxx=0]，[limx→0sinxx=limx→∞x?sin1x=1]。我们从理论方法上分析了这6个函数的极限，并给出了它们的图形，使得学生们一方面学习计算极限的方法，另一方面通过观察图像加深对函数的了解和对极限的记忆。由此可见，恰当的应用 matlab 的画图功能， 有助于巩固学生对重要概念的掌握和理解。

参考文献：

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