轮换平均值不等式及其应用

2015-12-08 08:11李世杰衢州市教育局教研室浙江衢州324002李盛衢州市第一中学浙江衢州324000汪水林衢州市第二中学浙江衢州324000
中学教研(数学) 2015年3期
关键词:衢州市算术衢州

●李世杰(衢州市教育局教研室浙江衢州324002)●李盛(衢州市第一中学浙江衢州324000)●汪水林(衢州市第二中学浙江衢州324000)

轮换平均值不等式及其应用

●李世杰(衢州市教育局教研室浙江衢州324002)●李盛(衢州市第一中学浙江衢州324000)●汪水林(衢州市第二中学浙江衢州324000)

本文提出了轮换平均的概念,建立了关于轮换平均的一个不等式,该不等式是算术-几何平均值不等式的一个隔离.作为其应用,得到了一系列的新不等式,最后给出轮换平均值不等式的加权推广.

1 轮换平均的定义

定义设ai>0,pi≥0,pn+i=pi(其中i=1,2,3,…,n,n∈N,n>1),,我们把

称为关于a1,a2,…,an的轮换平均.

2 主要结论

一般地,如下的轮换平均值不等式成立:

定理1设ai>0,pi≥0,pn+i=pi(其中i=1,2,3,…,n,n∈N,n>1),,则有G≤L≤A,即

证明1)先证右边的不等式.利用算术-几何平均值不等式,结合,得

这就证明了式(1)右边的不等式.

2)由加权算术-几何不等式知

上述各式相乘得

至此知式(1)左边的不等式也成立.

定理1证毕.

注1)不等式(1)说明:轮换平均值L是n元算术-几何平均值不等式的一个隔离.

2)当n=2时,由定理1可得以下结论.

若a1>0,a2>0,p1≥0,p2≥0,p1+p2=1,则

3)不等式(2)具有如下的几何意义.

设A(a1),B(a2),AM=BQ,,则

说明对称的定比分点坐标积可以隔离算术-几何平均值不等式.

图1

4)不等式(1)等号成立的条件不唯一,当a1=a2=…=an时左、右边2个等号同时成立.

对于不等式(2),还可以将条件a1>0,a2>0改进为“a1,a2是任意实数”,即为如下定理2.

定理2若p1≥0,p2≥0,p1+p2=1,则

3 应用

对p1取一些特殊值,可得一系列对算术平均值与几何平均值进行隔离的新不等式.

代入不等式(3)得如下结论3.

结论3若a1>0,a2>0,p≥1,则

4)当a1>a2时,取,则,从而

代入不等式(3)得如下结论4.

结论4若a1>0,a2>0,则

5)当a1>a2时,取,则,从而

代入不等式(3)得如下结论5.

结论5若a1>0,a2>0,则

6)当a2>a1时,取,则,从而

代入不等式(3)得如下结论6.

结论6若a1>0,a2>0,则

注因为结论4~6中的不等式关于a1,a2是对称的,所以条件a1>a2或a2>a1可省略.

从上可见,从定理1的一个特例:一个加权的简单不等式(2)出发,通过选取不同的p1,p2值,就可以得到许多新的不等式.同样地,对于二元以上的轮换平均值不等式,通过选取不同的pi值,也可以得到许多新的不等式,限于篇幅,不再展开论述.

4 加权推广

定理3设ai>0,pi≥0,pn+i=pi(其中i=1,2,3,…,n,n∈N,n>1),,qi>0(其中i=1,2, 3,…,n,n∈N,n>1),,则

证明在不等式(1)中用qiai替换ai(其中i=1,2,3,…n),得

[1]匡继昌.常用不等式[M].3版.济南:山东科学技术出版社,2004:348-375.

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