多分量感应测井井眼及侵入影响因素分析

张国艳，梁小兵，高杰，徐辰浩，李政阳

（1．长城钻探工程公司测井技术研究院，北京100200；2．中国石油大学（北京），北京102249）

0 引 言

多分量感应测井可以探测地层电性各向异性系数λ、相对倾斜角α以及倾斜方位角β。地层电性各向异性信息对于低电阻率油藏的识别、评价意义重大，而相对井斜角及倾斜方位角在地质应用上能够起到重要作用［1－3］。目前，可运用交错网格有限差分法（FDM）、有限元素法（FEM）、模式匹配法（NMM）或积分方程法（IEM）等数值模拟技术求解地层的电磁场响应。沈金松［4］、孙向阳［5］等用有限元法（FEM）计算了三维各向异性介质的电磁响应；陈桂波等［6］利用积分方程法（IEM）计算了各向异性介质的电磁响应；交错网格有限差分法（FDM）在三维各向异性介质电磁响应的数值模拟计算中应用广泛，Newman［7］、Wang and Fang［8］、汪功礼等［9］、沈金松［10］、王昌学等［11］以及 Mallan等［12］先后实现了有限差分代码的编制并得到较好的效果。

本文中的有限差分方法由频域Maxwell方程为基础引入标量电位V和矢量磁位A，进而将求解Maxwell方程的问题转化为求解耦合的标量－矢量位方程组问题。针对不同的地层模型和影响因素的正演计算结果稳定可靠，且计算速度较快。数值模拟结果显示，本文方法可以胜任相邻区域电参数大对比度的情况，比如模拟电阻率较低的盐水泥浆或电阻率很高的油基泥浆的情况。由于多分量感应测井仪特殊的线圈设计结构，该仪器响应受井眼及侵入的影响更加复杂，尤其是共面信号的影响比较严重，甚至于在高电阻率泥浆时仍然会有比较明显的井眼效应。本文重点考察了井眼及侵入对不同的响应分量造成的影响。

1 方法原理

1．1 电磁场问题的有限差分求解

对于任意三维的非均匀电性各向异性介质，存在外加电流源时，其时谐电磁场的频域Maxwell方程组为

式中，ω为角频率；μ为介质磁导率；ε为介电常数；Js为源电流密度＝σ¯＋iωεI为复电导率张量为介质电导率张量，I为单位矩阵；H和E分别是磁场强度和电场强度；B＝μH为磁感应强度。

由式（3）可以将磁感应强度表示为

式（4）中的矢量位A满足库伦规范

矢量A就是引入的矢量磁位。将式（4）代入Maxwell方程（1）、（2）中，借助矢量恒等式

可以得到

式中，V为标量电位。

式（7）至式（10）中的偏微分方程定义了一组耦合的标量－矢量位，为了在有限的区域内求解方程组构成的边值问题，将求解区域在直角坐标系下划分为Nx×Ny×Nz个矩形元胞，并且在Yee的交错网格［8］上利用中心差分近似偏微分项。在笛卡尔坐标系中，矢量磁位A的3个分量Ax、Ay、Az的采样点分别位于x、y、z方向网格棱边的中点处，而标量电位V的采样点位于网格棱角处。

通过对标量－矢量位方程的离散得到4个耦合的方程，表示为矩阵形式

其中，S为大型线性方程组的非对称复系数矩阵，由于其只包含有限的非零项，导致其成为大型稀疏条带状矩阵。这种矩阵的条件数完全依赖于求解空间的网格分布以及介质的平均电导率。由于线性方程组（11）的以上特性，应用双共轭梯度法（BICGSTAB（l））［11］通过迭代方法求解得到标量 －矢量位。进而通过式（7）、式（8）即可实现电磁场的求解。

1．2 多分量感应测井原理

多分量感应测井仪器的线圈系结构［9］由3个共中心点的、彼此垂直的发射线圈Tx、Ty、Tz和与其平行的3个接收线圈Rx、Ry、Rz以及3个屏蔽线圈Bx、By、Bz组成。当发射线圈系向周围发射正弦交流电时，可同时测量接收线圈系上磁场（或感应电动势）张量的9个分量。磁场强度张量H及对应的视电导率张量表示成

式中，Hxx表示由x方向发射、x方向接收产生的磁场强度，其他分量定义依此类推。为抵消发射线圈在接收线圈中产生的直接耦合分量引入屏蔽线圈。屏蔽线圈与接收线圈的绕线方向相反，匝数不等，在空气中屏蔽线圈和接收线圈中产生的直耦电动势相互抵消。

对于三线圈系，计算过程中线圈等效为点磁偶极子。考虑直耦电动势的消除，补偿后线圈系磁场强度HAij［10］可表示为

式中，L1为发射线圈与接收线圈间距离；L2为发射线圈与屏蔽线圈间距离；Hij，1、Hij，2分别为发射线圈为单位磁矩时接收线圈和屏蔽线圈磁场强度。

模拟计算得到的磁场虚部通过式（14）转换成视电导率张量［6，11－12］

式中，Im（）为线圈系磁场强度的虚部；Kij为线圈系仪器系数。

式中，ω为角频率；μ0为空气中磁导率。

2 算法验证

本文提供的模拟结果均为三线圈系下视电导率，主接收线圈源距L1＝1．0m，屏蔽线圈源距L2＝0．65m。通过与均匀介质解析解（Analytic Method）、一维地层模型下的快速汉克尔变换法（FHT）的响应与有限差分方法在地层电性各向异性系数λ为不同值下的正演结果进行了对比（见图1、图2）。其中，λ2为地层水平电导率σh与垂直电导率σv的比值；σa，zz、σa，xx分别表示z方向发射z方向接收时、x方向发射x方向接收时的视电导率值；深度MD为实际测量深度。结果显示有限差分方法模拟结果吻合很好。本文的模拟计算除均匀介质外，均采用5层分层模型，模型参数见表1。无特殊说明时地层模型井斜角为30°。当测井仪器轴线位于x轴z轴限定的子午面中，并且固定y轴的方向不变（即仪器方位角β为0），则多分量感应测井仪的9个分量中只有5个不为0。

表1 地层模型参数（无井眼、侵入）

图1 不同地层电性条件下有限差分法（FDM）与解析解法的响应比较

图2 FDM程序与一维正演程序模拟结果对比

3 模拟结果

3．1 井斜角的影响

图3是在发射频率为25kHz、井斜角从0°～80°时模型1的测井响应模拟结果。该算例单独考查井斜角对测井响应结果的影响，不考虑井眼和泥浆的影响。随着井斜角的增加，x－x分量在界面处的犄角会变得不明显，z－z分量在界面处从平滑逐渐出现犄角，并越来越明显，而y－y分量在界面处的犄角基本无变化。其实犄角的出现是由于边界处的电荷累积造成的。当电荷沿着界面法线方向流动时会出现这种电荷的累积。随着井斜角的增大，x－x方向磁场的感生电流会愈发接近平行于界面，z－z方向磁场的感生电流则愈发接近界面法线方向，而yy方向的感生电流与界面的方位关系不随井斜改变。由此，相应的会出现不同的界面犄角变化。

图3 井斜角变化时的测井响应

图4 引入不同井眼影响时的模拟结果

在各向异性层段，可以发现随着井斜角度的增加，x－x和y－y分量随井斜角的增大而增大；z－z分量和z－x分量（x－z规律相同）随井斜角的增大而减小。在各向同性层段，z－x分量为零（x－z分量规律相同），所有分量都不再受井斜角的影响。

3．2 井眼泥浆的影响

在模拟有井眼及泥浆侵入的模型中，井眼半径均取4．25in，侵入剖面半径为16．25in，泥浆包括电导性和电阻性2种，具体参数见表2。图4为考察井眼影响的模拟结果，xx＿layer表示无井眼条件下的x－x分量，xx＿cond为井眼内填充电导性泥浆（σm1＝6．0S／m）时的x－x 分量，而xx＿resis为井眼内填充电阻性泥浆（σm2＝0．01S／m）时的x－x 分量。模拟结果显示，共面分量（x－x、y－y）受井眼影响最为严重，其中又以x－x分量最为甚：图4显示除去地层电导率与井眼泥浆电导率相近的第4层，其他各层中的x－x分量受电导性及电阻性泥浆的影响都很明显，并且2种不同泥浆引起视电导率的相对变化率也很接近；相对于x－x分量，y－y分量在高电阻率层受泥浆影响更小，在高导层受电导性泥浆影响更大，在各向异性层受电导性泥浆影响也更小。共轴分量（z－z）受井眼影响较小，尤其电阻性泥浆基本不会对其造成影响。对于交叉分量（x－z、z－x），井眼影响只是体现在局部边界处犄角的峰值处。

3．3 井径变化的影响

图5 引入不同井径影响时的模拟结果

考查井眼存在、井眼内填充泥浆，并且存在井斜的情况下仪器的响应。地层模型依然为表1所示的5层层状模型，无泥浆侵入的影响。图5为考查井斜角为30°、井内填充电导性（σm1＝5．0S／m）和电阻性（σm2＝1．0S／m）2种泥浆时，井径变化对测井响应各分量的影响。图5中xx＿cal＝4．0、8．5、16．0 in分别表示井径为4．0．、8．5．、16．0in情况时的xx分量。模拟结果显示，在填充电导性、电阻性2种泥浆的情况下，共面分量x－x、y－y受井径变化影响均比较明显，尤其以电导性泥浆填充的情况为甚，且在地层电导率高的地层（4、5层）影响格外明显。

共轴分量z－z在电阻性泥浆填充时受井径变化的影响很小；当电导性泥浆填充时，在电阻率较高的各向异性地层（1层）和各向同性地层（3层）能看到地层响应随井径增大而增大，但是相对变化率很小。

图6 引入不同侵入影响时的模拟结果

表2 井眼及侵入参数

交叉分量x－z（z－x变化趋势和程度与之相同）在2种泥浆填充下受井径变化的影响只在高对比度地层（3、4层）界面处的峰值有所体现，交叉分量的信号强度随井径增大会相应地减小，且井眼填充电导性泥浆时带来的变化更为明显。

3．4 泥浆侵入的影响

图6为考查泥浆侵入影响的算例，同时提供了电导性泥浆和电阻性泥浆的结果。图6中xx＿well＿cond表示有井无侵时的x－x分量，xx＿inva＿cond为有井有侵时的x－x分量，此处cond表示电导性泥浆，而xx＿well＿resis中的resis表示电阻性泥浆，侵入带电导率参数见表2。模拟结果显示，电导性泥浆侵入造成的影响较明显，共轴和共面分量均会明显受到电导性侵入的影响，并且这种影响在电导性地层（如第4层）仍然显著。电阻性泥浆侵入在高导层段会对共面分量造成明显影响，在相对低导层段无明显影响。

在高电阻率砂岩层段（地层3），电导性泥浆侵入影响使z－z方向地层响应增大，使x－x或y－y方向地层响应减小，在低电阻率层段（地层4）也能看到这种变化趋势。对于电阻性泥浆，情况恰好相反，而这种规律体现了地层与泥浆电阻率对比度的影响。交叉分量几乎不受泥浆侵入影响。

4 结 论

（1）共面信号在界面处出现明显的犄角而共轴信号在界面处平滑的规律只适用于直井或者井眼斜角较小时；随着井斜角逐渐增大，共面信号会在界面处会变得平滑，而共轴信号则出现明显的犄角。

（2）共面分量x－x受井眼影响最为严重，并且电导性或者电阻性泥浆同样会带来明显的影响，与x－x分量相比，y－y分量受井眼影响程度较低，并且影响规律也不同；共轴分量受井眼影响很小，只有高导泥浆会在部分层段对其产生明显影响；交叉分量基本不受井眼影响。

（3）共面信号受井径变化的影响较为严重；共轴信号只有当高电导率泥浆填充时才受到井眼变化带来的影响；交叉分量受到井径变化的影响只在高对比度的地层边界处有所体现。由井径变化引起的地层响应影响中，均以电导性泥浆的填充最为显著。

（4）在存在泥浆侵入时，电导性泥浆对共轴和共面分量都会造成较明显的影响，电阻性泥浆侵入在高导层段会对共面分量造成明显影响，在相对低导层段无明显影响。

［1］Zhdanov M S，Kennedy W D，Peksen E．Foundations of Tensor Induction Well－logging［J］．Petrophysics，2001，42（6）：588－610．

［2］Zhang Z Y，Akinsanmi O，et al．Triaxial Induction Logging－an Operator’s Perspective［C］∥The 48th Annual Logging Symposium，paper Y，2007．

［3］Moran J H，Gianzero S．Effects of Formation Anisotropy on Resistivity－logging Measurements［J］．Geophysics，1979，44（7）：1266－1286．

［4］沈金松．用边有限元法计算三维各向异性介质的电磁响应［J］．测井技术，2004，28（1）：11－15．

［5］孙向阳，聂在平，赵延文，等．用矢量有限元方法模拟随钻测井仪在倾斜各向异性地层中的电磁响应［J］．地球物理学报，2008，51（5）：1600－1607．

［6］陈桂波，汪宏年，姚敬金，等．用积分方程法模拟各向异性地层中三维电性各向异常体的电磁响应［J］．地球物理学报，2009，52（8）：2174－2181．

［7］Newman，Alumbaugh．Frequency－domain Modeling of Airborne Electromagnetic Responses Using Staggered Finite Differences［J］．Geophys Prosp，1995，43（8）：1021－1042．

［8］Wang，Fang．3－D Electromagnetic Anisotropy Modeling Using Finite Differences［J］．Geophysics，2001，66（5）：1386－1398．

［9］汪功礼，张庚骥，崔锋修，等．三维感应测井响应计算的交错网格有限差分法［J］．地球物理学报，2003，46（4）：561－567．

［10］沈金松．用交错网格有限差分法计算三维频率域电磁响应［J］．地球物理学报，2003，46（2）：281－289．

［11］王昌学，周灿灿，储昭坦，等．电性各向异性地层频率域电磁响应模拟［J］．地球物理学报，2006，49（6）：1873－1883．

［12］Mallan R K，Torres－Verdin C．Finite－difference Simulation of Borehole EM Measurements in 3DAnisotropic Media Using Coupled Scalar－vector Potentials［J］．Geophysics，2006，71（5）：G225－G233．