电流势法在直流电测井中的应用

柳杰，张中庆

（浙江大学海洋科学系，浙江 杭州310058）

0 引 言

直流电测井的正演方法研究由最初的解析方法逐步发展为以数值计算为主体的仿真模拟。有限元法［1－2］、数值模式匹配法［3］、有限差分法［4］等非均匀介质数值计算方法引入到电法测井的数值模拟中。仵杰等［5］提出一种基于有限元数值计算离散电位数据的电流线绘制方法得到了侧向测井仪器在地层中的电流线近似分布情况，这种处理本质上属于数据后处理技术，得到的并不是真实的电流线分布，其效果依赖于步长选择、方向判断、突变点的处理和终止点的控制。张庚骥等［6］最早将电流势方法应用在自然电位测井中，取得了良好的效果，绘制出了自然电位在井中的电流线分布情况。

绝大多数数值算法都是基于电位势方程求解空间中离散点的电位值，对电位值求微分得到电流值。基于上述不足，本文利用电流势的偏微分方程求解电流场，采用有限元方法进行模拟。以双侧向测井仪器为例，研究表明，电流势方法不仅能够准确绘制出仪器激励在地层中真实电流线分布，还能够对仪器的探测深度、分辨率以及不同地层模型下的探测特性进行考察，为仪器的设计制造和结构的优化分析提供有效的依据。

1 电流势算法

1．1 稳流场的电流势描述

理论上，场量描述标量势和向量势是等价的，电流势属于向量势描述。定义J表示电流势，其在极坐标中任意一点（r，z）的大小可以表示为［7］

式中，I为电源电流。

由式（1），考虑对井轴具有旋转对称性的情况，电流密度的r分量和z分量可以表述为

式（2）和式（3）是均匀介质中点电极所形成电流密度，并且可以得到从点电源出发的任一直线上J为常数，即电流线和等J线一致。

二维直流电场中，求解区Ω内满足场强旋度为0，即

微分形式欧姆定律可以表示为

式中，ρ为介质电阻率。

由式（2）至式（5）可得

式（6）就是电流势方式描述下的直流电场控制微分方程。求解式（6）得到空间求解域各点的离散电流势值，绘制电流势的等值线图即可得到测井仪器激励在地层中真实的电流线分布图，这也是电流势法处理的优势所在。

1．2 电流势方程的有限元法求解

在具有旋转对称的地层介质中，求解域退化为子午面上的矩形区域。双侧向测井的求解域Ω中，电流势在电极表面和绝缘环表面分别满足的边界条件

式中，n为边界的法向单位向量；C为常数。

由式（6）以及电流势所满足的边值条件可以将问题转化为求泛函极值问题。泛函式

式中，Ω为求解域；Φ1（J）为求解区域的功率损耗之半；Φ2（J）为电极系提供的功率源［8］；UE为电极电压；IE为电极电流。

由泛函表达式的积分特点，在程序中优先选用矩形元素对求解域空间进行离散剖分。离散式（9）从而转化为关于各个结点电流势的二次函数。对该多元二次函数取极值可得到关于各结点Ji（i＝1，2，…，N）的代数方程组

式中，系数矩阵［P］具有电阻的量纲，Ji为各结点的电流势；右端项Ui为各结点的电压值。

求解式（10）就可以得到所需参数［9－10］。

2 数值模拟分析

2．1 仪器探测深度考察

由径向积分几何因子理论可知，侧向测井的探测深度可以定义为径向积分几何因子为0．5时的圆柱体半径，此时该无限厚圆柱体介质对侧向测井视电阻率的贡献率为50%，视电阻率可以表示为

由式（11）可计算伪几何因子

式中，Jx0（γ）为侵入半径为γ时的伪几何因子；Ra为视电阻率；Rxo为侵入半径无穷大时的视电阻率；Rt为无侵入时原状地层视电阻率。

地层模型参数为井眼直径0．2032m；泥浆电阻率0．1Ω·m；侵入带电阻率1Ω·m；原状地层电阻率10Ω·m。在实际测井中通常要考虑仪器的组合使用，为了不使仪器的总体长度变长，可采取不对称的电极系结构，此时必然会对仪器的探测特性造成影响。通过改变双侧向测井仪器最外侧A2屏蔽电极和主电极A0的尺寸参数（见表1）考察仪器探测深度的变化规律。从图1的伪几何因子曲线可知，当A2屏蔽电极长度一定时，随着主电极A0长度变短，深侧向和浅侧向的探测深度都变浅，且对深侧向的影响更大；当A0电极长度保持不变时，随着外侧屏蔽电极A2长度的变小，深侧向和浅侧向的探测深度均减小，且对深侧向探测深度影响更大。

表1 仪器外侧屏蔽电极A2和主电极A0结构参数

图1 伪几何因子曲线

2．2 仪器分辨率考察

仪器分辨率主要通过2个方面进行考察，一是不同长度的A2外侧屏蔽电极情形下仪器的分辨率；二是不同长度主电极A0情形下仪器的分辨率（尺寸参数见表1）。

地层模型参数为井眼半径为0．1016m；泥浆电阻率0．1Ω·m；目的层电阻率10Ω·m；围岩电阻率1Ω·m；目的层厚度由薄到厚依次为0．1524、0．3048、0．6096、0．762、1．524m。

图2 Case1和Case2不同目的层厚的响应曲线图

从图2和图3可以看出，改变电极A2和A0的长度对双侧向仪器的分辨率基本没有影响。同样，可以通过电流线的分布情况考察仪器的薄层识别特性。以Case1的深侧向模式和浅侧向模式为例，地层模型参数为井眼半径0．1016m；泥浆电阻率1Ω·m；目的层电阻率10Ω·m；围岩电阻率1Ω·m；目的层厚度0．6m。图4和图5中2条平行红色虚线间的地层表示0．6m厚的薄层，从这2幅图中可以看出，当地层厚度小于0．6m时，不论是深侧向还是浅侧向，主电极均只有1条电流线进入目的层，过少的电流进入目的层导致无法获取真实的地层信息，双侧向仪器对于薄层的识别失效。

图3 Case1和Case3不同目的层厚的响应曲线图

图4 深侧向薄层电流线分布图

图5 浅侧向薄层电流线分布图

2．3 不同地层模型下的电流线分布图

非均质无泥浆侵入地层模型，高背景围岩，地层模型参数为井眼半径0．1016m；泥浆电阻率1Ω·m；上下背景层电阻率100Ω·m；目的层电阻率1Ω·m；层厚取为0．6m。仪器结构参数使用表1中Case1的对称电极系结构。从图6中可以看出，① 目的层为薄层以及高围岩背景层的情况下，深浅侧向发射电极的电流线能够流进目的层，可更加有效地测得薄层的电阻率，对低电阻率薄层进行识别；② 深侧向的电流聚焦能力明显好于浅侧向。

图6 高背景层电流线分布图

非均质有侵入地层模型，地层模型参数为井眼半径0．1m；泥浆电阻率1Ω·m；上下背景层电阻率5Ω·m；侵入带半径0．5m。低侵时，侵入带电阻率10Ω·m；目的层电阻率200Ω·m。高侵时，侵入带电阻率50Ω·m；目的层电阻率2Ω·m；层厚取为3m。仪器结构参数使用表1中Case2的对称电极系结构。

浅侧向低侵和高侵情况下电流线分布如图7所示。图7中，① 在不同性质地层的交界面处电流线会发生明显的偏折，而且地层对比度越大，偏折程度越大，低侵时的偏折程度高于高侵，并且可以从电流线分布图上直接识别出侵入带半径和地层层界面；② 电流线低侵时比高侵时发散的更快，聚焦能力更差，在径向大于0．5m时电流线便开始回流，还有一部分电流直接流入低电阻的侵入带而未进入原状地层；③ 高侵时有较多的电流线流向目的层，在这种情况下可更加有效地测得目的层的电阻率。

图7 浅侧向电流线分布图

2．4 三层地层模型的连续测井

三层地层模型参数为井眼半径0．1016m；泥浆电阻率0．1Ω·m；上下围岩电阻率1Ω·m；目的层电阻率20Ω·m；层界面位置为－2m和2m，无侵入模型。

针对上述模型，分别采用电流势方式和电位势方式计算连续测井响应曲线，计算结果如图8所示。从图8中可以看出，2种方式无论是深探测模式还是浅探测模式，测井响应曲线具有很好的一致性。

图8 三层地层模型连续测井响应

双侧向电极系测井响应在层界面处通常会出现犄角现象。通过分别绘制仪器处于地层中心位置和层界面－1．5m位置时的浅探测模式电流线分布图可以说明这一现象产生的原因（电流线分布情况见图9和图10）。仪器处于层界面－1．5m时电流线多数集中在该层界面以上，层界面以下电流线很少，整个电场分布呈不对称形态，异常的电场分布形态可以很好地用来解释犄角现象出现的原因。

图9 仪器处于地层中心位置电流线分布图

图10 仪器处于－1．5m位置电流线分布图

在数值模拟程序中，通常将参考电极N放在无限远处。三层地层模型的模拟结果也将参考电极N放在了无限远边界上。现考虑将参考电极N放置在有限远处对电场形态进行考察，设置N电极在－33m处，地层模型同上述三层模型（电场分布情况见图11）。从图11中可以看出，主电极和屏蔽电极发射的电流都返回到参考电极N，电场分布的直观描述可以解释双侧向电极系测量时出现的格罗宁根和德雷伏影响等现象，这也是电流势法相对于其他数值模拟算法的优势所在。

图11 N电极处于有限远时电流线分布图

3 结 论

（1）应用电流势法对常规双侧向电极系的探测特性进行分析。电流势法不仅能够给出仪器对地层的响应信息，同时能够给出真实的电流线分布情况。

（2）相比较其他数值算法，电流势法最大特点是能够直观描述电极系的电场特性，在分析模拟曲线特征和问题等方面具有一定的优势；可直观地从电流线图中获取地层层界面，侵入半径等信息，了解电流在不同地层模型中的流向；可通过计算并结合电流线分布图的方式分析仪器的分辨率等信息，有效考察电极尺寸参数对双侧向仪器探测特性的影响，便于对仪器的结构进行合理的设计，从而改善仪器的探测特性。

（3）电流势方法同样也可以应用在其他侧向类测井仪器中。

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