对数学变换方法在物理学中应用的探索

对数学变换方法在物理学中应用的探索

李 燕

(雅安职业技术学院四川 雅安625000)

摘 要：在研究某些复杂的物理问题时，可用数学方法把复杂的物理问题转化成简单的问题.常用的数学变换方法有平均值法、微元分析法和非线性的线性化方法等.本文分类探讨了这些数学变换方法在物理学中的应用.

关键词：平均值法微元分析法非线性的线性化方法

收稿日期：(2015-08-06)

作者简介：李燕(1970-),女,硕士,副教授,主要从事物理学教学研究.

数学是研究客观事物的数量关系和空间形式的科学，也是进行理论思维的有效手段.由于数学方法有抽象性、逻辑性和辩证性等特性，所以在物理学研究的各个领域得到了充分的运用，物理学研究中的数学方法是解决和分析物理问题必不可少的理论工具.

1数学方法在物理学中的作用

首先,数学方法为物理学提供了量化研究的工具.例如伽利略在进行实验研究时，就用了数学定量分析方法去整理归纳从实验获得的感性材料，把实验方法和数学方法紧密地结合起来；德国天文学家开普勒运用数学方法研究天体力学理论，成功地运用数学公式来表达关于行星运动的三大定律；麦克斯韦通过数学类比及推理，用一组偏微分方程系统地描述了电磁运动的基本规律，把光学、电学和磁学结合在一起了，他采用了矢量分析这样的数学方法，把静电场推广到一般电磁场.

其次,数学方法导致物理新规律的发现和新理论的建立.例如麦克斯韦在用数学方法推导出电磁场方程组的基础上预言了电磁波的存要；爱因斯坦在用数学方法推导出质能关系的基础上预言可以研制原子弹和氢弹.

2数学中的变换方法

在研究某些复杂的物理问题时，有时可把复杂的问题转化成简单的问题，也即是采用迂回手段来达到目的的数学方法称为数学变换方法.常用的数学变换方法有平均值法、微元分析法和非线性的线性化方法等.

2.1平均值法

所谓平均值法就是把变化因素导致的复杂过程简化为常量因素的简单过程的方法.如在统计物理学中，为了在描述微观粒子的运动规律中获得宏观量如温度、压强、体积、内能和熵等而采用统计平均的方法.这样,统计物理学的任务就是把微观量Ai及系统的分布函数ρ(t)确定后，宏观量A就可表示成微观量Ai的统计平均值，即

又如碰撞过程研究也是应用平均值方法估算冲力的平均值的，因为冲力是个变力，它随时间而变化的关系比较难确定，所以只能估算冲力的平均值，表示如下

这样当求得微观粒子系统的波函数Ψ(r,t)，利用上式就可算出所有相关物理量在Ψ(r,t)描述的微观状态上的宏观效应.例如以下是粒子坐标的平均值和动量的平均值

动能以及角动量的平均值也可如此表示.由此可见平均值思想在量子力学理论中具有非常重要的作用.

2.2微元分析法

如果研究的对象连续分布，例如分布于一定空间内的弹性体(如细杆、细弦、膜等)或流体(一定量的液体或气体),有一定空间分布的能量场(如电场、磁场、流体速度场、物质浓度场、温度场等).由于连续体处于不同空间的部分，其运动状况不同，所以我们可应用微元分析法选取无穷多个不同空间位置的质点作为研究对象.

对于连续体，建立运动方程时要采用微元分析法.微元分析法将系统中所有微元分为非边界微元和边界微元两部分，我们要研究的是：

(1)系统中任一非边界位置处的微元(例如空间的线元、面元、体积元、点电荷元或质量元等)在某时刻的运动.

(2)边界面上所有微元在任意时刻的运动(边界条件)及初始时刻系统所有微元的运动(初始条件).

下面通过对弦振动方程的推导说明微元分析法的应用.

【例题】如图1所示，一长为l的柔软、匀质的细弦(重力忽略)，在切向应力T的作用下做微小的横振动，求它的微小横振动运动方程.

sinβ≈tanβsinα≈tanα

则微元在弦长方向受力为T2cosα-T1cosβ，横向受力为T2sinα-T1sinβ.

图1　弦振动方程推导用图

由牛顿运动定律，振动位移运动方程如下

T2cosα-T1cosβ=0

因为是微小振动，所以有

cosα≈cosβ≈1

(1)

若约定用下标来表示求偏导数，则式(1)可简化如下

utt(x,t)=a2uxx(x,t)

(2)

若弦上每一微元还受到外力dF=f(x,t)dm作用，则弦横向微小振动方程为

utt(x,t)=a2uxx(x,t)+f(x,t)

(3)

定解条件略.

从上例可知微元分析法是在无穷多个微元中任选一个非边界微元，应用力学、流体力学、热力学、电学、电动力学等学科知识建立所选非边界微元的运动方程达到描述系统中每一个微元运动的目的.

2.3非线性的线性化方法

物质世界里反映物理量间的关系主要是非线性关系，在物理学理论及实验中可引入非线性物理系统的线性研究方法，即对有非线性关系的一对物理量，可在理论上或实验中限制其中一个物理量在一个宏观小的范围内变化，则两个物理量的关系可近似为线性关系，通过数学或其他手段确定出两个量间的比例系数后就可确定这一对物理量在给定范围内的线性关系.

例如三极管的输入特性和输出特性都是非线性的，因此对放大电路进行定量分析时，主要矛盾是解决三极管的非线性问题.常用微变等效电路法来解决此问题，其实质是在静态工作点附近一个比较小的变化范围内，近似地认为三极管的特性是线性的，由此导出三极管的等效电路以及一系列的微变等效参数，从而将非线性问题转换为线性问题，这样便可以对三极管电路进行求解.

下面用微变等效电路法分析晶体管在共发射极接法下的输入特性和输出特性.

由于三极管是在小信号(微变量)情况下工作，因此，在静态工作点附近小范围内的特性曲线可用直线近似代替.如图2(a)所示.在输入特性的Q点附近，基极加入一个很小的变化量ΔuBE，便得到一个电流变化量ΔiB,可以认为ΔiB随ΔuBE作线性变化，其晶体管的动态输入电阻可按欧姆定律求得，即

rbe称为晶体管的动态输入电阻，对于小功率三极管，小信号时rbe为常量.

从图2(b)看，假定在Q点附近输出特性曲线是水平的，则ΔiC与ΔuBE无关，只取决于ΔiB，而数量关系上ΔiC比ΔiB大β倍.所以从输出端看进去，可以用一个大小为βΔiB的恒流源来代替三极管.当iB为常量时，ΔuBE与ΔiC之比为晶体管的输出电阻.

图2　三极管等效参数的求法

小信号条件下，rce为常量.若把晶体管输出电路看作电流源，rce为电流源内阻，在等效电路中与恒流源βib并联.rce阻值很高，约为几十千欧到几百千欧，微变等效电路中都把它忽略不计.这样图3(a)所示的三极管可以用图3(b)所示的电路去等效.当ib=0时，ic=βΔib也为零，所以不是独立电源，而是受输入电流控制的受控电源，如图3(b)所示.

图3　简化的三极管等效电路

总之，数学是表述和论证物理概念和物理规律的最简练、最系统的语言，也是研究物理学不可缺少的工具，数学方法已成为人们探索物理世界秘密的“金钥匙”.

参 考 文 献

1王瑞旦，宋善炎．物理方法论．长沙：中南大学出版社，2002