有关引力场高斯定理的探讨 *

有关引力场高斯定理的探讨*

李儒颂徐 芹叶文江

(河北工业大学理学院天津300401)

*河北工业大学教育教学改革研究项目,项目编号：201303002;大学生创新创业训练计划省级重点资助项目,项目编号：201413584001

指导教师：叶文江(1976-)，男，博士，副教授，主要从事液晶物理及液晶器件物理的研究.

摘 要：基于牛顿的万有引力定律与静电场的库仑定律相似，均满足平方反比定律，对引力场的高斯定理进行了探讨.运用类比思想，引入虚引力场强度，提出了一种巧妙推导引力场高斯定理的新方法，并用该方法推导出引力场高斯定理的两种不同的表达形式，同时对此做出了相关的分析.理论表明该方法极其简单明了，易于理解和掌握运用，具有一定的推广价值.

关键词：引力场高斯定理平方反比定律类比思想

收稿日期：(2015-06-26)

作者简介：李儒颂(1990-)，男，在读本科生，主要从事大学物理和物理实验方面的创新研究.

Abstract:Based on the comparability between Newton’s law of gravity and Coulomb’s law in static electric field, which all follow an inverse-square law, the Gauss theorem in the universal gravitation field is discussed in this paper. Applying the idea of analogy, a clever new method to derive Gauss theorem in gravitation field is presented by introducing the virtual gravitational field strength. Two different expressions of Gauss theorem in the universal gravitation field are deduced using this method, and the relevant analysis is also given. It shows that the method is very simple and clear, and easy to understand and master, which has a certain popularization value.

1引言

高斯定理是物理学中一个非常重要的内容，它不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程.近年来，国内外学者侧重于对高斯定理应用方面的研究[1～4]，而从理论上对高斯定理分析并将其推广的却相对较少.库仑定律和万有引力定律都是与两者距离的平方成反比的，而且数学形式高度一致,所不同的是：库仑定律中电荷有正负之分，同性电荷之间是相互排斥的，异性电荷之间是相互吸引的；万有引力中引力质量始终认为是正值，始终是吸引力.正是这种不同点，导致静电场和引力场是性质完全不同的两种场，文献[5]从能量守恒角度证实静电场是实数场，而万有引力场是虚数场.尽管文献[6]曾将高斯定理在万有引力场中进行了推广，但并没有考虑到静电场与万有引力场上述性质上的不同.鉴于此，本文通过引入虚引力场强度，并运用类比电场线概念的思想引入引力线来描述引力场，进而简单、明了地阐述了高斯定理的深刻物理意义，从而巧妙地推导出万有引力场高斯定理[7]两种不同的表达形式，而将“高斯定理”这一理论研究形式在万有引力场推广，不仅可以加深对高斯定理含义的理解[8]、掌握和运用，而且展示出高斯定理在大学物理中应用研究的广泛性，具有深刻意义.同时，把万有引力场的高斯定理运用到实际解题过程中，可以大大简化运算过程，具有很好的运用价值，也揭示了万有引力场如同电场一样，是有源场，质量为M的体系辐射万有引力场.

2引力场高斯定理的推导过程

2.1虚引力场强度

通过比较静电学中的库仑定律

和牛顿万有引力定律

(1)

文献[5]报道了质量球壳收缩场力做正功后场能增加，显然这不满足能量守恒定律，为此可引入虚引力质量来解决矛盾，定义万有引力质量是虚引力质量，即M′=iM，将式(1)改写为

(2)

此时的万有引力定律式(2)与库仑定律从形式上看完全相似了.

类比电场中电场强度的定义，引力场中，我们把场中每一点的引力与质点虚引力质量的比值定义为引力场强度，则相应的万有引力场强度也变为虚数矢量，即质点的万有引力虚数场强为

(3)

对于质点系和质量连续分布的物体产生的虚引力场强度，可分别根据叠加原理和积分计算，即虚引力场强度同样具有可叠加性.

2.2引力场高斯定理的推导过程

有了引力场强定义后，对某面积微元的引力场强通量为

dΦg=g·dS=gdScosθ

(4)

其中θ是引力场强g与面积微元dS的夹角.因此，对某曲面S的总引力场强通量为

(5)

其中Φg为引力场强度g对曲面S的引力场通量，dS为曲面S上的矢量面元.定义了通量的概念后，通过引入的引力线即可以很巧妙地导出万有引力场中的高斯定理.

上面我们已经引入了万有引力质量是虚质量，万有引力场是虚场，为此设想有一个引力质量为iM(虚引力质量)的质点.现以质点所在处为球心，任意r为半径作一球面为高斯面，于是球面上任意点的万有引力场强为

(6)

则通过该闭合曲面的万有引力场强通量为

(7)

与半径无关.

(8)

这表明：通过任一闭合曲面S的万有引力场强通量等于该闭合曲面内包围的所有引力质量的代数和除以ε0，与闭合曲面外的引力质量无关.

如果真空中的引力场是由分布在一定体积内的万有引力质量(虚质量)产生，其密度为iρ，则式(8)可以写成

(9)

将式(9)写成相应的微分形式为

(10)

2.3引力场高斯定理的简化推导

静电场的高斯定理为

(11)

这是库仑平方反比定律的必然结论，由于万有引力定律也是平方反比定律，一定也可以引入相应的高斯定理.通过类比[9，10]思想，可做类似的推导：对于质量连续分布的场源，其引力场强度为

(12)

其中er是从质点m到场点的矢径.

选包围它的闭合曲面为高斯面，则穿过它的引力通量为

(13)

由此可见，引力通量同样与半径无关，只与闭合曲面内的质量有关，即有

(14)

这表明：通过任一闭合曲面S的万有引力场强通量等于该闭合曲面内包围的所有质点质量代数和的(-4πG)倍，而与闭合面外质点质量无关.将式(14)写成相应的微分形式为

(15)

3结论

值得一提的是，本文推导出万有引力场高斯定理两种结果式(8)和式(14)的表达形式完全不一样.其中，式(8)在任何文献和教材中并没有出现过，但两者并不相矛盾，其根本原因是式(8)中的质量为引力质量[11](虚引力质量)，而式(14)中的质量为物体实质量即惯性质量.并且假设引力质量是虚质量并不违反广义相对论中的等效原理，因为引力质量和惯性质量是两个不同的物理量，等效原理指出的是这两者在数量上恰好相等，并不是物理意义上的等同.如果将引力质量定义为虚质量，而惯性质量仍是实质量，则引力质量的模与惯性质量在数值上仍是相等的，等效原理还是成立的，也不与物理学中原有的其他物理规律发生冲突.将引力质量定义为虚质量，相应的引力场是虚数场，这种假设是有意义的也是必要的，它不仅使万有引力定律与静电场库仑定律的本质差别更加突出，而且在数学形式和规律上则显示出更加相似与和谐.至于这种假设有什么更深刻的物理含义，还有待进一步去研究，本文在此不做过多的探讨.

参 考 文 献

1李小月,吴锋,刘德俊,等. 大型油罐入口管油品防静电安全流速的确定. 当代化工,2014,43(1): 146～148

2李颢. 引力场中的高斯定理在计算煤矸石重量方面的应用. 山西大同大学学报(自然科学版),2010,26(1):79～80

3王宁,孙彩霞,齐玉红. 引力场中高斯定理的应用. 山东轻工业学院学报,2010,24(4): 78～80

4赵立龙, 孙婷婷, 裴世鑫, 等. 关于D的高斯定理应用问题. 江苏教育学院学报(自然科学版), 2012,28(1): 18～19

5吴永汉. 万有引力场是虚数场. 云南大学学报: 自然科学版,2004,26(4): 335～337

6陈国云,洛成洪,辛勇,等. 高斯定理与环路定理在万有引力场中的推广. 南昌大学学报(工科版),2008,30(4): 354～358

7刘大为. 关于引力场的高斯定理. 甘肃教育学院学报(自然科学版),1998,12(1): 45～46

8沈晴,顾学文,徐筠,等. 关于推证高斯定理不同方法的讨论. 物理通报,2011(9): 18～20

9蔡香民. 万有引力与高斯定理——类比在物理学中的作用. 安徽师范大学学报(自然科学版),2006,25(2): 147～150

10贾国荣. 高斯公式在农林院校大学物理保守场中的推算. 山西农业大学学报(自然科学版), 2013, 33(5): 454～457

11张子进. 关于引力质量与惯性质量不相等假说及其推论. 自然杂志,1981,4(3): 171

Discussion on the Gauss Theorem in the Universal Gravitation Field

Li RusongXu QinYe Wenjiang

(School of Sciences, Hebei University of Technology, Tianjin 300401)

Key words: gravitation field; Gauss theorem; inverse-square law; idea of analogy