基于BP神经网络的连接界面非线性力学模型参数辨识

王　东　徐　超　万　强

(1.中国工程物理研究院总体工程研究所　四川绵阳　621999；2.西北工业大学航天学院　陕西西安　710072)



基于BP神经网络的连接界面非线性力学模型参数辨识

王东1徐超2万强1

(1.中国工程物理研究院总体工程研究所四川绵阳621999；2.西北工业大学航天学院陕西西安710072)

摘要：连接界面上存在的多尺度、多物理场和非线性的物理机理是引起结构能量耗散和刚度非线性的主要原因。采用Iwan模型模拟连接结构进行连接梁的动力学仿真，利用EMD(Empirical Mode Decomposition, EMD)提取时域信号的非线性特征训练BP神经网络，再设计连接梁实验辨识连接界面的非线性力学模型参数，将辨识建立模型运用在连接结构中进行数值仿真并与实验结果对比。结果表明：利用EMD非线性特征进行BP神经网络训练能够建立有效的连接界面非线性力学模型，仿真结果与实验结果具有较好的一致性。

关键词：连接界面EMD非线性神经网络参数辨识

连接界面的非线性力学建模对复杂装配结构的动力学分析、设计、优化和健康监测等问题至关重要。同时，由于连接界面力学行为的复杂性以及对连接界面进行直接实验观测的困难，连接界面的力学建模也是非常具有挑战性的科学问题[1-2]。

传统的连接结构动力学问题研究中，一般略去界面刚度和阻尼非线性的本质，采用线性化模型反映连接结构的动力学特性，利用实验结果和参数拟合方法获得模型待定参数[3]。Iwan模型更为系统和完善地描述了连接界面的微观“黏滑”过程，且模型参数具有一定的物理意义[4-5]。SONG对Iwan模型进行了刚度修正，并进一步提出“修正Iwan梁单元”，这种单元可以应用于有限元分析中[6]。

传统的功率谱分析、特征值、MIMO等系统辨识的线性方法，往往不能解释一些重要的非线性问题[7]。发展非线性系统辨识方法的困难在于对复杂结构非线性特征的认识[8]。EMD(Empirical Mode Decomposition,EMD)是一种新的时域信号分析方法，能够对非线性、非平稳的信号进行分析。EMD已经广泛运用在机械故障检测、金融、结构健康监测方面[9-11]。随着人工神经网络技术的发展，神经网络越来越多地被应用于模式识别、人工智能、信息处理等领域，神经网络也成为解决参数辨识问题的一种重要手段。多层BP前馈神经网络能够以任意精度逼近非线性映射，特有的学习能力使其能适应系统或环境的变化，并行计算的特点使其有能力实现大量复杂的运算，多输入多输出可方便进行多变量系统的辨识，但是非线性神经网络拟合的结果具有不可重复性，选择不同的网络模型和参数将得到不同的结果[12-13]。

本文利用Iwan模型模拟连接结构，采用瞬态激励作用提取时域信号，再基于EMD方法辨识非线性特征，并且将非线性特征作为BP神经网络训练输入，设计连接梁实验进行验证。

1EMD信号分解方法

获得连接结构的加速度响应数据序列x(t)。找出数据序列的所有局部极大值，然后用三次样条函数进行拟合，得到原数据的上包络线xmax(t)，同样可以得到下包络线xmin(t)，对上下包络线上每个时刻取平均值：

m1(t)=(xmax(t)+xmin(t))/2

(1)

用原来的数据序列减去瞬时平均值，得到：

h1(t)=x(t)-m1(t)

(2)

把h1作为原序列重复上述步骤，直到h1k满足IMF条件，就得到了分解出第一阶本征模态函数IMF1。

h11=h1-m11

⋮

(3)

IMF1=h1k-1-m1k

EMD算法的目的是将性能不好的信号分解为一组较好的固有模态，这里IMF需要满足如下两个性质：(1)信号的极值点(最大值和最小值)数目和过零点数目相等或最多相差一个；(2)由局部极大值构成的上包络线和由局部最小值构成的下包络线的平均值为0。

从原始信号中分离出分量IMF1得到新的原序列：

r1(t)=x(t)-IMF1

(4)

按照以上的步骤，依次提取第2，3…阶模态，直至n阶本征模态模式函数IMFn。

整个过程的IMF分量叠加满足

(5)

直接通过IMF的定义来判断何时停止筛选是不够方便的，HUANG定义了标准差(Standard Deviation, SD)来判断何时完成筛选[14]，SD由连续两个筛选结果计算得到：

(6)

瞬时频率是Hilbert分析中一个重要概念。采用Hilbert转换可以为其定义唯一的虚部值，使得该结果成为一个可解析的函数，即

(7)

式中P为Cauchy值。

通过定义x(t)和y(t)可组成一个共轭复数对，于是可以得到一个解析信号：

z(t)=x(t)+iy(t)=a(t)eiθ(t)

(8)

式中

a(t)=[x2(t)+y2(t)]1/2

θ(t)=arctan[y(t)/x(t)]

将Hilbert变换定义为x(t)和1/t的卷积，因此它强调x(t)的局部特性，根据瞬时频率可定义为

(9)

利用固有模态函数和瞬时频率构造原信号：

(10)

2修正Iwan模型

如图1(a)所示的搭接连接系统模型，模型中下连接件固定，上连接件考虑为一维运动的刚体。x,q分别为结合面的相对位移、对应的非线性迟滞恢复力，连接界面的柔性采用Iwan模型描述。

如图1(b)所示，Iwan模型采用n→∞个Jenkins单元并联组成的子系统描述结合面多尺度黏滑摩擦行为。考虑发生宏观滑移后，连接结构仍具有一定的刚度，所以并联一个刚度kα=αk的线性弹簧单元描述发生宏观滑动后的剩余刚度。子系统中每个线性弹簧的刚度都为ki=k/n，但每个滑块的临界滑移力qi并不相同。当系统切向受载时，临界滑移力小的滑块先发生滑动，随着相对位移增大，越来越多的滑块发生滑移，直至全部滑块都发生滑移，即结合界面出现了宏观滑动。因此，该模型可以较好地复现出连接界面上复杂的跨尺度黏滑摩擦过程。

图1　搭接结构和修正Iwan模型

假设Iwan迟滞模型上滑块临界滑移力的分布密度函数形式为

(11)

式中fq为系统刚好发生宏观滑动时对应的临界宏观滑移力。对处于初始平衡位置的Iwan模型受到单调载荷的情况，其恢复力的一般表达式为

(12)

将式(11)代入式(12)可得

(13)

上式分段函数包括两部分，分别表示Iwan迟滞模型发生微观滑移和宏观滑移时的相对位移-恢复力关系。

振动载荷下，系统将会出现反复的卸载-加载运动。根据迟滞回线的对称性[15]，如图2所示，可以得到加载和卸载过程中的恢复力函数为

(14)

式中Fl(x)和Fu(x)分别表示加载和卸载过程中的恢复力，x0和F0表示系统一个振动周期内的最大相对位移和恢复力。

图2　迟滞曲线Masing映射准则

Iwan迟滞模型描述的恢复力-相对位移关系主要受模型参数k,α和fq的影响。连接结构确定后，可按黏着条件给定未发生滑动时的等效连接刚度k，而α和fq需要通过参数辨识的方法获得。当fq=0时，Iwan连接结构将退化为线性结构，恢复力可以表示为：

F(x)=αkx

(15)

3BP神经网络

如图3所示，神经网络由排列成层的神经元组成，接受输入信号的神经元层称为输入层，输出信号的神经元称输出层，不直接与输入/输出发生联系的神经元层称为隐含层。在信息传递过程中，神经元接受前一层每个神经元信息的加权之和，经过传递函数处理输出给下一层的每个神经元。

图3中:xj为输入层第j节点的输入；M为输入层的维数；Wij为输入层第j节点到隐含层第i节点的权值；q为隐含层数目；θi为隐含层第i节点的阈值；φ为隐含层的激励函数；Wki为隐含层第i节点到输出层第k节点的权值；ak为输出层第k个节点的阈值；ψ为输出层的激励函数；Ok为输出层第k节点的输出；L为输出层数目。

图3　BP神经网络输入输出示意图

隐含层第i个节点的输入neti：

(16)

隐含层第i个节点的输出yi：

(17)

输出层第k个节点的输入netk：

(18)

输出层第k个节点的输出Ok：

(19)

多层前馈神经网络是目前工程应用最广泛的一种神经网络。应用神经网络解决辨识问题时主要包括3个过程：①确定网络的基本结构；②选择训练样本集；③训练。

贝叶斯方法着眼于权值(阈值)在整个权空间中的概率分布。采用最小偏差无偏估计量计算方法的过程计算贝叶斯估计进行神经网络参数辨识。

4连接梁动力学分析

连接梁示意图如图4所示。将梁的连接部分简化为二维平面梁单元，能够承受轴向力和弯矩的作用，单元的特性是轴向拉伸和弯曲特性的组合。在小变形的情况下，这两种变形的耦合可以忽略。

对于二节点三自由度的单元，在单元局部坐标系下，节点变量可以表示为

δe={u1v1θ1u2v2θ2}T

(20)

图4　连接梁示意图

4.1线性梁单元矩阵

利用有限元思想得到线性梁单元的刚度矩阵为：

(21)

质量矩阵为：

(22)

式中：E为杨氏模量；L为梁单元长度；A为梁单元的截面积；I为截面转动惯性矩。

按照有限元刚度矩阵投递的方法可以得到整个结构非连接部分的质量、刚度矩阵。

4.2连接内力

线性梁连接示意图如图5所示。除了连接的非线性部分，其余的部分都可以通过有限元质量矩阵和刚度矩阵的方法建立力和位移的关系。Iwan模型的相对位移和梁单元的局部变量满足

Δ0=u1-u2

(23)

式中：h为连接梁单元的高度;Δ2为水平方向相对位移;Δ1为垂直方向相对位移;Δ0为独立的水平位移。

图5　线性梁连接示意图

连接梁线性模型的内力f0,f1和f2为：

(24)

SONG采用修正Iwan模型简化的连接梁单元，提出“修正Iwan梁单元”，这种单元可以方便地应用在现有的有限元程序中。分别采用法向和切向Iwan模型简化方式，如图6所示。

图6　连接梁简化方式

将连接梁单元局部作用力转化到整体坐标系变量相对应的载荷：

(25)

4.3动力学方程

KelasticX+Fjoint(X)=Fexternal(t)

(26)

式中：X为整体坐标系变量的矩阵；Finner为连接梁单元产生的内力；Fexternal为外激励；Mjoint为连接梁单元的质量矩阵；Melastic为线性单元质量矩阵；Cjoint为连接梁单元的阻尼矩阵；Celastic为线性单元的阻尼矩阵；Kelastic为线性单元刚度矩阵。

4.4连接梁实验

如图7所示，连接梁由两块搭接板通过螺栓紧固组成，材料为45钢，设计无连接的整梁作为对比，整梁的尺寸和材料与连接梁一致，采用上述非线性辨识方法研究两组实验得到的动力响应。

图7　实验件构造和几何尺寸

实验中，分别将两个实验件两端用橡皮筋悬挂，以近似两端自由的状态，分别在实验件的A点和B点处安装加速度计，用冲击锤在A点处施加冲击(力锤最大值725N)，在B点采集加速度信号进行非线性特征识别。

5结果与讨论

5.1神经网络辨识的收敛性

BP神经网络由于在非线性训练过程中最后停止时误差(Gradient)不一样，每次得到的训练结果也不一样，需要多次训练神经网络判别其收敛性，定义fy和α的误差作为收敛性判断的标准，连接结构在法向采用Iwan模型(也可选取切向为Iwan模型)。

(27)

(28)

表1所示为BP神经网络收敛性判断的相关数据。虽然神经网络训练是非线性随机的，但是神经网络训练参数的误差随着训练次数的增加趋近于一定值，说明用非线性特征作为神经网络输入、连接参数作为输出进行训练是收敛的。

表1　BP神经网络训练结果

5.2实验结果

选取适当的连接参数建立仿真的神经网络训练参数：α={0.015，0.01，0.005} ，fy={10，25，40}；采用法向Iwan模型，切向线性的连接简化方式(切向Iwan模型，法向线性的连接简化方式无法得到与实验结果相近的阻尼特性)。

神经网络训练的结果为加速度幅值{α=0.0107fy=13.4684}，IMF1幅值{α=0.0155fy=2.5377}，IMF1时频{α=0.005fy=19.9841}，辨识的结果和实验结果如图8、图9所示。仿真得到的加速度响应的包络线和实验结果十分吻合，经过FFT变换实验和仿真的结果也有很好的一致性，特别是在低阶模态时。

图8　连接梁参数辨识的时域包络线

图9　连接梁参数辨识的频域结果

6结论

本文基于BP神经网络辨识方法，采用Iwan模型模拟连接结构建立等效的降阶非线性动力学模型，通过连接梁的数值仿真验证神经网络训练的收敛性，再结合连接梁实验验证该方法的有效性和精度，直接提取连接结构的时域响应信号作为时程特征量，进行神经网络训练。(1)采用神经网络方法能够有效地对连接模型进行参数辨识。(2)数值仿真结果表明，本文所采用的方法得到的模型参数能够有效地预测连接结构的动力学响应，与实验结果误差较小，吻合很好。

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Nonlinear Mechanics Model Parameters Identification for Joint

Interface Based on BP Neural Networks

WANG Dong1，XU Chao2， WAN Qiang1

(1.InstituteofSystemsEngineering,ChinaAcademyofEngineeringPhysics,Mianyang621999,Sichuan,China；

2.SchoolofAstronautics，NorthwesternPolytechnicalUniversity，Xi-an710072,Shaanxi,China)

Abstract:Modeling of mechanic joint is a challenge for the complex multi-scale, multi-physics and nonlinear physics behaviors on the interface, introducing additional flexibility and damping to the overall structural dynamics. The Iwan model is applied to model and simulate the joint beam system.The nonlinearity characteristics are extracted by EMD method and applied to train the backpropagation neural networks. Then, the nonlinear mechanic model is identified by the experimental nonlinearity of jointed beam, which is applied to simulate the joint interface invested by the result of experiment.The results show that: based on the BP neural networks, the nonlinear characteristics can be applied to establish the nonlinear mechanic model of joint interface and the simulation and experimental results have a good coherence.

Key words:Joint; EMD; Nonlinearity; Neural networks; Parameter identification

中图分类号：TP271

文献标志码：A

文章编号：1671-8755(2015)04-0065-06

作者简介:王东(1988—)，男，硕士研究生，研究方向为连接界面非线性力学建模。E-mail:kingeast@sina.cn

基金项目:国家自然科学基金资助项目(11372246)；中物院科学技术重点基金(2014A0203006)。

收稿日期：2015-07-01