跨界思维：打开初中数学概念教学的一扇窗
——以“一元二次方程”教学为例

☉南京市中华中学上新河初级中学　黄玉华



跨界思维：打开初中数学概念教学的一扇窗
——以“一元二次方程”教学为例

☉南京市中华中学上新河初级中学黄玉华

一、背景

所谓跨界思维，就是以跨越自身学科、专业界限的知识及思维，多视角、多层面来审视问题与解决问题的一种思考方式.要跨界，必须拆除思想的藩篱，打破行业界限，以跨行业、无边界的思维来思考问题.

受跨界思维的启发，在一次数学教研活动中，我们邀请到了几位其他学科的老师来参加听课、评课活动.由一位数学老师进行“一课两上”的同课异构活动，授课内容是苏科版九年级上“一元二次方程”（第1课时），本节课是初中数学中一种常见的概念型课.由教师A上先行课，然后大家（包括各学科教师）评议，教师A再根据大家的建议重新设计，进行同课异构，通过这样的教研活动引发大家思考，其中一位语文特级教师的评议如一石击起千层浪，掀起了大家的听课、评课、上课的激情，让与会者耳目一新，笔者听后收获颇多，数学概念课也可以这样上出精彩！现撷取其中的片段与大家分享！

二、跨界思维下的数学概念课教学的尝试

1.教师A的先行课的流程

根据教材顺序，首先通过四个实际问题（正方形桌面面积问题、矩形花圃围栏面积问题、图书馆藏书的年增长率问题、梯子靠墙问题）引导学生探索、分析、列出四个一元二次方程，然后让学生观察、讨论所列出的四个方程，寻找所列方程在形式上的共同点，从而抽象、概括出一元二次方程的定义和一般形式，然后进行概念的辨析、巩固与运用.

2.先行课结束后，大家进行如下评议

教师B：本节课是数学概念课型.教师A根据概念课的一般授课模式，即“概念的引入—概念的形成—概念的表示—概念的辨析—概念的巩固—概念的提升”，目的在于突出一元二次方程的本质特征，强调概念的一般性与具体例子之间的联系，并使学生认识到一元二次方程有着广泛的实际背景，它可以作为许多实际问题的数学模型.

教师C：我来谈谈本节课的地位.整式方程一般按照其中未知数（元）的个数和未知数的最高次数分类，一元二次方程与前面所学整式方程相比，变化在于未知数的最高次数由一次升为二次，由此带来了方程解法的新变化.一般地，解任何一个代数方程（组）时最终都要化归为一元一次方程来解.一元二次方程是初中数学教材中所学习的最后一种方程，是以前所学方程知识的延续和深化，是解决其他数学问题的基础，本节课作为章节起始课，我觉得教师A整个教学过程突出了学生的主体地位，是一节常态下的概念课.

教师D：苏科版教材（义务教材）在方程概念部分的内容安排从初一到初三总是遵循“实际问题情境—建立方程模型—概括抽象形成概念”这样的模式.这种千篇一律的设计模式，忽视学生认知心理特点与思维的发展变化，学生往往感觉单调，学习缺乏激情.这种课让人总感觉缺乏以数学概念的抽象过程为载体的学生认知过程分析，照本宣科地“灌输”概念，学生被老师“牵着鼻子”走，缺乏以数学对象本质属性的揭示过程为载体的思维探究活动，不知道大家是否有这样的感觉.

……

教师W（语文特级教师）：听了刚才大家的评议，我对本节课有这样的一种设想：“本节数学课能否借鉴语文课上分析文章的思维方法，紧扣标题，因为标题是文章的眼睛和标志，它常常透露出作者的观点或感情倾向，暗示文章的主旨，串连文章的结构，起到揭示主旨和贯穿全文的线索作用.本节数学课是否也可以先让学生解读标题“一元二次方程”，你觉得什么样的方程叫作一元二次方程？你能否举出几个例子来说明？你觉得我们应该怎样来研究一元二次方程？……”

经过交流、评议，大家形成了这样的共识：在学习本节之前，学生已经分两次学习过整式方程，即一元一次方程（七年级上），二元一次方程（七年级下），并且学习了可化为一元一次方程的分式方程（八年级下）.学生对于方程的相关概念、解方程的基本思路已经比较熟悉.之前学习方程概念时，总是遵循“实际问题情境—建立方程模型—概括抽象形成概念”这样的模式，如果到了初三学习一元二次方程还采用这种模式会让学生产生枯燥无味的感觉，容易形成思维定势，况且初三学生的心理较初一、初二时期有了很大的发展，他们的推理能力、抽象能力、概括能力都有了一定的提高，根据初中数学课程标准的要求：学生的数学学习内容应当是富有挑战性的，要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流，内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求.数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.

教师W的这种建议是一种开放式设计，能很好地发挥学生的主观能动性，培养学生的类比、抽象、猜想、概括等能力，能很好地发展学生数学思维的广泛性、深刻性和独特性，于是，融合不同学科思维产生了以下第二种设计方案.

3.教师A第二次上课片段实录（概念引入和同化部分）

师：什么叫方程？我们以前研究过哪些种类的方程？它们有怎样的特点？试举例.

生1：含有未知数的等式叫方程，我们已经学习过一元一次方程和二元一次方程，还有分式方程.一元一次方程的特点是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程，如2x+1=0；二元一次方程的特点是含有两个未知数并且所含未知数项的最高次数是1的整式方程，如3x-2y=5；分式方程的特点是分母中含有未知数，如

师：（一边板书课题一边提问）今天我们一起来认识一种新的整式方程——一元二次方程.当你看到这个课题时，你觉得需要研究一元二次方程的哪些内容？

生2：应该研究它的定义、解法，还有应用.

师：对，这是研究方程的一般套路，哪个同学能类比前面所学方程的定义，给一元二次方程也下个定义，并举例说明.

生3：只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程，如x2=1.

师：（一边板书一元二次方程的概念一边提问）一元二次方程与以前所学的一元一次方程有何异同？

生4：不同点是一元二次方程所含未知数的最高次数是2，而一元一次方程所含未知数的最高次数是1，相同点是都只含有一个未知数，并且都是整式方程.

师：请小组内每人写一个一元二次方程，相互交流，看看哪一小组的形式多样？（教师巡视）

小组1：①2x2=1，②x2+2x=0，③3x2+2x-1=4，④x2=0，⑤（x-1）2=2.

师：请同学们把这些方程变形，使等号右边变成0，左边按照未知数的次数由高到低顺序排列.你们能发现这些一元二次方程有什么共同点，有什么不同点？你能用字母系数来表示出一元二次方程吗？思考后写出来，小组交流.

小组2：我们发现变形后的这些一元二次方程左边第一项都含未知数的二次项，但有的方程缺一次项，如方程①；有的方程缺常数项，如方程②；有的方程既缺一次项，又缺常数项，如方程④.我们这一小组用字母系数来表示出的一元二次方程的形式是mx2+nx+p=0.

师：这里的字母系数m、n、p能取任意实数吗？为什么？

生5：m≠0，否则未知数的最高次数就不是2次了，方程也就不是一元二次方程了.

师：n和p呢？

生6：n、p可以任意取.

师：（板书）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0.这种形式叫作一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

……

三、听课后的感受

1.课堂气氛

整个教学过程，以问题引领思维，以猜想发展思维，以交流优化思维，课堂气氛活跃，学生热情高涨、积极主动，学生的思维如行云流水，自然流淌.

2.课堂效果

在当堂练习中设计了这样的两道试题：①若关于x的方程（a+1）x|a|+1-ax-3是一元二次方程，则a=_______；②若关于x的方程mx2-2x+1=2x（x-1）是一元二次方程，那么m的取值范围是_______.从反馈的情况发现，这两道试题相对于其他平行班级正确率较高，尤其是第②小题，填错误答案“m≠0”的人数较少，学生对一元二次方程的概念掌握较牢固，理解较深刻.

3.学生发展

学生在描述一元二次方程的概念过程中，初步形成了类比的思想方法，学生亲历概念的同化过程，产生积极的研究欲望，学生与学生、学生与老师思维进行碰撞，学生的思维得到了升华，创新意识也凸显出来了，学生不再是知识的接受者，而成为知识的发现者，学生的思维得到了充足的发展，尤其到最后归纳小结时，教师问你还有什么新的想法或发现时，有个学生回答：“我也能说出一元三次方程、一元四次方程的定义了”，学生那种作为成功发现者的喜悦之情洋溢在脸上.

四、反思

数学概念是数学学习的起点，是数学思维的基础.［2］无论是数学方法，还是解决数学问题，都必须运用数学概念，可以说，数学概念是数学知识的基石.正确而深刻地理解数学概念，是掌握数学基础知识和形成基本技能的前提.数学概念是人们通过实践，从数学研究对象的众多属性中抽象出其本质属性，经高度概括而成的.因此，数学概念具有高度的抽象性，这是数学概念难教、难学的原因之一.另外众多的数学概念构成一个庞大的体系，每一个概念都可以视作这一体系的一个节点，不同的概念有不同的抽象概括过程和程度.教学时只有根据概念的特点和课标的要求，结合学生的认知基础，灵活采用教学方法，才能创造出课堂的精彩.

1.猜想是培养学生形成概念的一种重要思维方法

数学概念是科学思维的总结，它是在人类历史的进程中逐步形成和不断发展的.数学概念不仅产生于客观世界中的具体事物，而且也产生于数学的“思维结果”.［3］引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础.概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识做出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段.牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现.”猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力，因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉、发展数学思维、获得数学发现的基本素质，是培养学生形成概念的一种重要思维方法.

2.根据学情灵活采用概念的两种学习形式

概念有两种基本形式：概念形成和概念同化.从学习过程来看，概念形成主要依靠对具体事物的抽象，通过对正反例证的不断辨析，提出假设，并进行检验，最后发现概念的本质属性；而概念同化主要依靠新旧知识的联系，判别学习的概念与原有认知结构中有关概念的异同，并组成概念的网络系统.因此，概念的形成往往与人类自发形成的概念相近，可以凭借对事物的具体形象和表象进行抽象而成概念，它适用于原始概念和一些层次较低的概念的学习.如三角形、四边形、平行线等概念的学习，就宜采用概念形成的方式.概念的同化则是具有一定心理水平的学生学习概念的方式，比较适合中高年级.对于发展性概念，一般采用同化的形式.因为随着学生年龄的增长，认知结构中的知识不断积累，智力不断发展，就应借助学生已有的概念去认识新的概念.在课堂教学条件下，概念同化就逐渐成为学生获得新概念的主要方式，采用这种方式引入新概念时，要充分复习已有的概念，使新概念在已有的概念中生长和发展，从而产生新的认识.如一元二次方程、二次根式、二次函数等概念是纯数学抽象物，是抽象逻辑思维的产物，就应该采用同化的方法引入，能更好地发挥学生的主观能动性，更好地发展学生的思维.

3.跨界思维下概念课的上课模式

对不同形式的概念的教学，可以采用不同的上课模式.概念教学主要是完成概念的形成和概念的同化这两个环节.新知识的概念是学生初次接触或较难理解的，所以在教学时应先列举大量具体的例子，从学生实际经验的肯定例证中，归纳出这一类事物的特征，并与已有的概念加以区别和联系，形成对这一特性的一种陈述性的定义，这就是形成一种概念的过程，这种概念的上课模式一般是：问题情境（抽象）—新概念分析（内涵、外延、正（反）例）—应用—反馈.其具体的实施步骤为：①构建问题情境，创设心理环境.针对新概念构建相应的问题情境，隐含新概念所描述事物的本质，观察、认识到提出新概念的必需和合理，以形成合理心情，积极、大胆地进行思维.②考查本质属性，抽象形成概念.分析问题情境，概括出它所反映事物的共同属性，由此逐步抽象而提出新概念.③设计多向分析，深化概念理解.对新概念可从揭示内涵、外延、定义方式、合理性（和谐性）、正反例证等方面分析.④及时测试反馈（应用），评价思维训练.这种模式一般适用于概念的形成，是一种发现学习的过程.

在进行数学概念教学时，当学生接触的新概念与认知结构中原有概念相互联系、作用时，学生会经过类比、迁移、对比、辨析等对新问题的特性形成陈述性的理解，领会新概念的本质属性，获得新概念，这就是概念的同化.这种概念上课模式一般为：已有概念（类比、迁移）—新概念—比较（共性、异性）—创造（形成新概念体系）—应用—反馈.其具体的实施步骤为：①精选已有概念，设置问题情境.数学概念体系的形成过程具有一定的层次性，如方程经历了一元一次方程—二元一次方程—一元二次方程—高次方程—整式方程—分式方程—有理方程—无理方程.教学中应选择最近的源概念，通过升维、加权、反向思考等设置.②拟定类比方案，迁移形成概念.考查概念情境的变化，拟定提出新概念的类比方案（概念诱发、类比途径、类比可能的结果、验证并完善）.③重比较促创造，强化概念理解.对类比、迁移提出的新概念，需与问题情境中的已知概念比较，弄清与原概念的共性、与已知概念的异性.④及时测试反馈，评价思维训练.［4］这种模式一般适用于概念的同化，是一种创新的学习过程.

以上是针对数学概念教学的两种上课模式，在日常概念教学中，我们只有对概念进行全面理解与合理把握，不断探索新模式，做到目标明确、方法正确，才能使学生掌握好数学概念.

跨界思维打开了概念教学的一扇窗，教师拆除思想的藩篱、打破思维的界限，学生获得了思想的自由，思维的灵动.跨界的主要目的是为了“借智”，跨界最难跨越的不是技能之界，而是观念之界.跨界是思维模式的转变，思维跨越没有界限，教学创新才永无止境.

参考文献：

1.匡继昌.数学教学要重视基本概念的深入理解［J］.数学通报，2008（9）.

2.詹高晟.拉长思维过程，内化概念理解［J］.中学数学（下），2016（3）.

3.罗增儒.数学概念的教学认识［J］.中学数学教学参考（中），2016（3）.

4.毛小平.试论在新课标下数学的概念教学［J］.中学数学教与学，2008（4）.H