以《无穷级数》为例主线式教学实证探究

北京工业大学 王雪丽

考虑当前教学现状，教师课堂教学讲授的知识点不少，但并不是每个知识点同样重要；对学生而言，这种模块碎片式学习知识点，很难建立起知识点之间的联系，更找不到知识的重点和难点，给后续学习带来了很大的阻碍：理解不了，只能死记硬背公式，尤其对内容的拓展方面，更没有了学习的积极性。为此，为了“引导学生学习”，激发学生的求知欲，提高课堂听课率，从而提高课堂教学效果。我们提出以《高等数学》下册《无穷级数》一章的教学主线设计为例，谈谈“主线”式课堂教学设计。

一、教学主线式教学过程

主线是教学内容的核心和实质，是知识结构网络中的主脉。教学主线是教师在反复钻研教材的基础上形成的比较成熟的教学思路。同时，主线里还包含着学生对知识学习的理解掌握，以及对能力培养的基本要求。即主线教学是教师在教学目标的指引下，通过设计清晰的教学思路，在优化的课堂教学中，运用启发式和参与式教学，围绕一条主线来调动学生学习的主动性和积极性，使他们成为课堂的主人，使他们的知识和能力都得到发展。下面我们以《高等数学》下册《无穷级数》一章的教学主线设计为例，谈谈“主线”式课堂教学设计。

第一，要精心设计课堂的导入部分。俗话说：“良好的开端是成功的一半”。精心设计的导入既能集中学习的注意力，牵动学生的思绪，又能促使学生情绪高涨，尽快步入学习状态，同时还可以促进学生综合分析，归纳总结等能力的形成和发展，培养学生良好的科学素质。在《无穷级数》课的开始，本着为什么要研究无穷级数？无穷级数研究什么？怎样研究？的思路，并从认知角度，首先使用普通日常语言，即俗说的大白话来阐述对无穷级数的简单理解:即过去我们对初等数学会有限个数和的运算，现在推广到高等数学：由有限个转变成无穷个数的和的考虑，而高等数学的研究对象是函数，从而核心解决的是无穷多个函数和的问题。这样既吸引了学生的注意力，又调动了学生参与课堂学习的积极性，也由此使他们对本章课的学习内容产生了极大的关注。这时再按照常规的逻辑考虑接下来的问题：1.无穷和是否存在？如何判定？（引出本章的内容：如何判定级数的敛散性）2.若无穷和存在，如何求无穷和？（引出本章内容级数的性质以便解决求解级数的和）3.无穷函数的和仍然是函数，其定义域是什么？（即引出本章内容级数的收敛半径/收敛域） 4.实际中如何应用无穷和？（即引出本章内容级数的应用:将函数展开成级数，以及数值计算等）。这样就为本章内容的学习做好了充分的准备，也使主线具备了成功的起点。

第二，教学过程要突出“以教材的核心和知识体系为主干”的教学主线。根据课堂各知识点的内在联系，首先确定核心和知识点，并在课堂教学中，时刻围绕这个核心知识点，构建一条清晰的知识结构主线，使学生通过这种知识主线的学习与内化，构建高层次的认知结构。我们把上面提到的问题1、2、3、4作为核心进行教学主线设计，围绕这一主线，主要设计了以下问题：从简单入手，先讲授(1)数项级数问题；然后推广(2)函数项级数问题；最后保障知识体系的完整性讲授(3)级数的实际应用。对于(1)数项级数，仅涉及考虑解决问题1.判定级数的敛散性：由问题出发，从级数的构成形式入手，首先研究最简单、特殊的级数：正项级数，交错级数；然后是一般数项级数的敛散性，这里注意对于一般数项级数的敛散性判定的解决，则归纳了前面学习特殊与一般的关系问题，是引起学生深入思考，促进学生知识迁移的升华。而对于(2)函数项级数，考虑涉及解决问题2和3。从最简单并且是否具有周期性特点入手，将讲授幂级数和傅里叶级数（包括正弦级数和余弦级数）。这样既训练学生思考问题的方法：从简单入手，符合逻辑思维，易于理解和接受，又引出了新知识，较好地保证了基本教学目标的实现。

第三，教学主线必须以对知识建构和内化程度的检验作为结尾，缺乏检验的学习，不仅教学过程不完整，教学效果也会大打折扣。因此，课堂上必须对新知识的掌握情况进行恰当的反馈。由于正项级数敛散性的判别方法多，要使他们真正掌握其内涵并能够做出准确地选择判别方法存在一定的困难，但如果讲授清楚：判别方法产生于依次改进前面的判别方法作为考虑为核心的教学主线设计，那么就可以使学生容易理解、记住，并能依此做出准确的选择判别方法，从而可以归纳给出判别方法优先选择的次序。这些事实告诉我们，只要合理运用教学主线，就能保证优化教学效果为理想的实现。

第四，可以通过知识拓展分析，进一步提升学生的认知水平，真正实现培养学生科学素养的教学目的。在较好地完成了基本教学目标后，又一次提出了让学生思考的问题：任给一个数项级数，经过师生的共同分析，明确了如何分析问题以及解决问题的过程，即先识别级数的类型，然后选择合适的办法，顺利实现了课堂知识的迁移。

二、教学效果

通过教学实践，我们更加清楚地认识到：教学过程是学生的认知过程，是一个发挥学生主观能动性的认知过程。进行主线教学，教师不仅能够激发学生强烈的学习愿望，还能够运用“主线”正确引导学生探究知识的捷径，将感性知识尽快升华为理性认识，帮助学生掌握探究知识实质的方法，使学生感受学习知识的乐趣和成功的喜悦，有利于调动学生学习的积极性和主动性。

通过主线式教学设计，有利于学生对知识的理解和准确记忆，并且可以帮助学生逐步养成科学的思维意识和习惯，实现课堂知识学习的迁移和升华。真正实现了课堂教学的优化，更是把教学目标的实现和学生素质的培养落到实处。

通过教师以学生认知规律为出发点的教学主线设计，可以加强对学生的学法指导，“引导学生学习”：能够使学生在轻松和谐的课堂气氛中，以积极的心理状态，饱满的情绪去渴求学习，并通过教师的点拨、引导，培养学生自主学习的能力，使其学会学习，从而达到最佳教学效果。