幂的大小比较

□邹兴平

幂的大小比较

□邹兴平

比较幂am和an（其中a、b为正数，m、n为正整数）的大小时，首先明白它们之间有如下两种大小关系：

（1）当a＝b，且m＞n时，

①若底数大于1，则am＞bn，即底数大于1的两个同底数的幂，指数大的幂也大；

②若底数小于1，则am＜bn，即底数小于1的两个同底数的幂，指数大的幂反而小；

（2）当m＝n时，若a＞b，则am＞bn，即同指数的两个幂，底数大的幂也大.

根据上述结论可得比较幂的大小有如下几种方法.

方法一、把幂的底数化为相同后，通过比较指数的大小来确定幂的大小

例1若a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c大小关系是（）.

A.a＞c＞b B.a＞b＞c

C.a＜b＜c D.b＞c＞a

解析：因为8131＝（34）31＝3124， 2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，而124＞123＞122，所以a＞b＞c，故选B.

答案：B.

点评：由于幂比较大，直接计算很不现实，观察发现，例1和例2中其底数分别可以转化为3或，这样只需要比较其指数即可.

方法二、把幂的指数化为相同后，通过比较底数的大小来确定幂的大小

例3已知a＝2444，b＝3333，c＝5222，则a，b，c大小关系是（）.

A.a＞b＞c B.c＞b＞a

C.a＜c＜b D.b＞a＞c

解析：根据幂的乘方的性质，逆向运用得到amn＝（am）n，因为444，333，222的最大公约数为111，所以a＝2444＝（24）111＝16111，b＝3333＝（33）111＝27111，c＝5222＝（52）111＝25111.而16＜25＜27，所以16111＜25111＜27111，即a＜c＜b，故选C.

答案：C.

例4比较390与845的大小.

解析：由于两个幂的指数90是45的2倍，因此给出的两个幂可以化为相同的指数，得390＝（32）45＝945.显然945＞845，所以390＞845.

点评：无法直接计算，又不能把底数化为相同，可考虑先找出其指数的最大公约数，逆用幂的乘方运算性质，把它们的指数化为相同，这样只需比较其底数即可.

方法三、将幂乘方后，通过比较乘方所得数的大小来确定幂的大小

例5已知a3＝3，b5＝4，比较a、b的大小.

解析：因为（a3）5＝a15＝35＝243，（b5）3＝b15＝43＝64，而243＞64，所以a15＞b15，所以a＞b.

点评：显然不能直接求出a、b值再比较，可先将它们各自乘方，使乘方后幂的指数为原各指数的最小公倍数，然后再比较所得数的大小.

方法四、利用中间量传递或放缩后，再运用上述方法比较来确定幂的大小

例6比较1516和3313的大小.

解析：因为1516＜1616＝（24）16＝264，3313＞3213＝（25）13＝265，而265＞264，所以3313＞1516.

点评：既不能化为同底数，又无法化为同指数，观察两个底数，15接近16，33接近32，而16与32都可以表示为以2为底数的幂的形式，可通过比较中间量的大小来确定幂的大小.运用放缩法比较幂的大小时要注意放缩的“幅度”，应尽可能与原数的大小接近，不能过大，如果比较失败，说明放缩的“幅度”偏大.

方法五、作商法

例7比较2616和8213的大小.