Witt 型李超代数的极大根阶化子代数

柴姝楠,刘文德

(哈尔滨师范大学数学科学学院,黑龙江哈尔滨　150025)



Witt 型李超代数的极大根阶化子代数

柴姝楠,刘文德

(哈尔滨师范大学数学科学学院,黑龙江哈尔滨150025)

摘要：设W(m,n)是特征p＞3的代数闭域上有限维Witt型李超代数.证明了W(m,n)的极大根阶化子代数一定是其极大Z-阶化子代数,从而刻画了W(m,n)的所有极大根阶化子代数.结果有助于理解Witt型李超代数W(m,n)的内在性质.

关键词：Witt型李超代数; Cartan子代数;极大根阶化子代数

1　引言

李超代数是一个活跃的研究领域,它的研究主要包括表示理论和结构理论.在结构理论中,极大子代数的刻画是一个重要研究方向. 1952年, E. Dynkin在文献[1]中给出了某些典型群的极大子群结构,在文献[2]中对复数域上有限维单李代数的极大子代数进行了分类. 1997年, Shchepochki将Dynkin的结论推广到了矩阵李超代数上[3].近年来,对于极大子代数的研究取得了重要的进展. 2004年,文献[4]确定了结合或超对合结合的中心单超代数的极大子代数,文献[5-6]确定了10维Kac Jordan超代数的极大子代数以及带有半单偶部的单特殊Jordan型超代数的极大子代数. 2009年,文献[7]研究了特征p＞3的代数闭域上的Cartan型李超代数K的全深度极大子代数.文献[8-9]刻画了特征p＞3的代数闭域上的Z-阶化Witt型李超代数偶部的可分解极大阶化子代数以及限制Witt型李超代数偶部的可约极大阶化子代数.文献[10-11]分别确定了特征零和特征p＞3的代数闭域上的Cartan型李超代数的极大Z-阶化子代数.文献[12]确定了特征零代数闭域上的Witt型李超代数的极大根阶化子代数.

本文证明了特征p＞3的代数闭域上的Witt型李超代数W(m,n)的极大根阶化子代数一定是其极大Z-阶化子代数,同时说明了W(m,n)的所有极大Z-阶化子代数除了不可约的恰好为W(m,n)的所有极大根阶化子代数.从而借助文献[11]中对于特征p＞3的代数闭域上的Witt型李超代数W(m,n)的极大Z-阶化子代数的刻画,给出了Witt型李超代数W(m,n)的极大根阶化子代数.这有助于理解Witt型李超代数W(m,n)的内在性质.

本文约定F是特征p＞3的代数闭域, Z和ℕ分别表示整数和非负整数集,是整数模2的剩余类环.令m,n∈ℕ{1}是两个固定的整数.符号|x|表示Z2-齐次元素x 的Z2-次数, zd(x)表示Z-齐次元素x的Z-次数.

2　基本概念

为方便,设

设O(m)是F上的具有基

的有限维除幂代数.对于εi= (δi1,δi2,···,δim),简记x(εi)为xi,i∈I0.设Λ(n)是F上有n个变量的外代数,令

若u∈sh(k),则记

是一个由O(m)的平凡Z2-阶化与Λ(n)的自然Z2-阶化诱导的结合超代数.设∂1,···,∂m+n是超代数O(m,n)的超导子,满足∂i(xj) =δij,|∂i| = |xi|,i,j∈I.令

则W(m,n)是有限维单李超代数,称之为Witt型李超代数.

设W(m,n)中元素的Z-次数为zd(xi) =−zd(∂i) = 1.为简便,以下将O(m,n),W(m,n)分别简记为O,W.置ξ= m(p−1) + n,则有

3　极大根阶化子代数

设g是一个李超代数, h是g的Cartan子代数, g关于h有如下的根空间分解:

其中

设g′为g的子代数,如果g′满足:则称g′为g的根阶化子代数.如果g′/= g,并且真包含g′的g的根阶化子代数只有g,则称g′为g的极大根阶化子代数.

令h=spanF{xi∂i| i∈I},容易验证h为W的Cartan子代数,称为标准Cartan子代数.设ηi是xi∂i的对偶基,即ηi(xj∂j)=δij,i,j∈I.令∆i表示Wi关于h的根集, i=−1,0,1,···,ξ−1.于是有

表1　W的根集

其中ηu=ηi1+ηi2+···+ηik.称∆=∆−1∪∆0∪···∪∆ξ−1为W的根系.

引理3.1设M是g的子代数, h是g的Cartan子代数,如果M是g的h-子模,则M 是g的根阶化子代数.特别地, W的包含标准Cartan子代数h的Z-阶化子代数也是其根阶化子代数.

证明由于M是g的h-子模,故[h,M]⊂M,因此M关于h有一个根空间分解,由根空间及根阶化子代数的定义易知, M是g的根阶化子代数.

引理3.2 W的根阶化子代数也是其Z-阶化子代数.

证明设M是W的任意一个根阶化子代数,显然有[h,M]⊂M.令∆M表示M关于h的根集,由表1可知∆i∩∆j=∅,i /= j.于是

即M的每一个根空间都包含于W的一个阶化项,故M是W的Z-阶化子代数.

引理3.3 W的极大根阶化子代数一定包含W的标准Cartan子代数h.

证明设M是W的任意一个极大根阶化子代数,∆M表示M关于h的根集.下面分两种情况来证明.

情形1当∆M=∆时,由于dimWα=1,其中

则Wα⊂M.从而

(a)当k∈I0时,上式为:

(b)当k∈I1时,上式为:

故Wβ⊂M,其中

同理可证, Wγ⊂M,其中

又

从而h⊂M,于是有M = W,矛盾于M的极大性.

命题3.1 W的极大根阶化子代数一定是其极大Z-阶化子代数.

证明设M是W的任意一个极大根阶化子代数,由引理3.2与引理3.3可知, M是W的Z-阶化子代数,并且h⊂M.若存在W的一个Z-阶化子代数K,满足则由引理3.1可知, K也是W的根阶化子代数,这与M的极大性矛盾.

设M是W的极大根阶化子代数,由命题3.1和文献[11]可知, M满足下列条件之一:

(I) M−1=0;

(II) M−1/= 0且M−1/= W−1;

(III) M−1=W−1且M0=W0;

(IV) M−1=W−1但M0/= W0.

引理3.4 W的包含标准Cartan子代数h的极大Z-阶化子代数一定是其极大根阶化子代数.

证明设M是W的任意一个包含标准Cartan子代数h的极大Z-阶化子代数,则由引理3.1可知, M是W的根阶化子代数.若存在W的一个根阶化子代数K,满足则由引理3.2可知, K也是W的Z-阶化子代数,这与M的极大性矛盾,故M是W的极大根阶化子代数.

引理3.5 W的(I)型, (II)型和(III)型的极大根阶化子代数恰好分别是W的(I)型, (II)型和(III)型的极大Z-阶化子代数.

证明由命题3.1可知,只需证明W的(I)型, (II)型和(III)型的任意一个极大Z-阶化子代数M也分别是W的(I)型, (II)型和(III)型的极大根阶化子代数.

情形1当M为(I)型时,结论显然成立.

情形2当M为(II)型时,由文献[11]中定理4.1可知,

其中

V是W−1的一个非平凡子空间.显然, h⊂M0(V ),于是由引理3.4可知, M是W的极大根阶化子代数.

情形3当M为(III)型时,由于M0=W0,则h⊂M0.同理M是W的极大根阶化子代数.

设g0是W0的一个子代数,若W−1作为g0-模(不)可约,则称g0(不)可约.设是W的一个(IV)型的Z-阶化子代数,若g0(不)可约,则称g(不)可约.

命题3.2 W的(IV)型的所有极大根阶化子代数作为其Z-阶化子代数都是可约的.

证明设M是W的(IV)型的任意一个极大根阶化子代数,由引理3.2可知, M也是W 的Z-阶化子代数,则只需证明M0可约.由引理3.3可知, h⊂M0,令∆M0表示M0所对的根集,则∆M0/=∆0.若ηi−ηj/∈∆M0,则对于任意的k /= i且k /= j,或ηi−ηk/∈∆M0, 或ηk−ηj/∈∆M0.记

由M的极大性可知, M0也是W0的极大根阶化子代数,因此上述两式不能同时成立,由此可知I=I′∪I′′且I′∩I′′=∅.此时,

引理3.6 W的(IV)型的极大根阶化子代数恰好是W的(IV)型的极大可约Z-阶化子代数.

证明由命题3.1与命题3.2可知,只需证明W的(IV)型的任意一个极大可约Z-阶化子代数M也是W的(IV)型的极大根阶化子代数.由文献[11]中定理5.1可知,

其中

显然, h⊂M0(V ),于是由引理3.4可知, M是W的极大根阶化子代数.

定理3.1设M是W的极大根阶化子代数,则下述结论成立:

V是W−1的任意一个非平凡子空间;

(3)若M为(III)型,

(a)如果m−n + 1≡0 (mod p),那么

(b)如果m−n + 1 /≡0 (mod p),那么

或者

其中

参考文献

[1] Dykin E. Maximal subgroups of classical groups [J]. Trudy Moskov. Mat. Obsc., 1952,30:39-166.

[2] Dykin E. Semisimple subalgebras of semisimple Lie algebras [J]. Mat. Sb. (N.S.), 1952, 30(72):349-462.

[3] Shchepochkina I. Maximal subalgebras of matrix Lie superalgebras [J]. In: Leites D. Seminar on Supermanifolds. Reports of Stockholm University, 1992,32:1-43.

[4] Elduquq A, Laliena J, Sacristan S. Maximal subalgebras of associative superalgebras [J]. J. Algebra., 2004,275(1):40-58.

[5] Elduquq A, Laliena J, Sacristan S. The Kac Jordan superalgebra automorphisms and maximal subalgebras [J]. J. Pure Appl. Algebra., 2008,212:2461-2478.

[6] Elduquq A, Laliena J, Sacristan S. Maximal subalgebras of Jordan superalgebras [J]. Proc. Amer. Math. Soc., 2007,135(2):3805-3813.

[7]高岩,刘文德. K型李超代数全深度极大子代数[J].哈尔滨师范大学学报, 2009,25(2):34-36.

[8]白薇,刘文德,董学强. Witt型李超代数偶部的可分解极大阶化子代数[J].数学杂志, 2013,3(4):702-708.

[9]白薇,刘文德,董学强.限制Witt型李超代数偶部的可约极大阶化子代数[J].数学的实践与认识, 2012, 42(17):222-227.

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[11] Bai W, Liu W D, Melikyan H. Maximal subalgebras for Lie superalgebras of Cartan type [J]. J. Algebra and Appl., DOI: 10.1142/S 0219498815500139.

[12]高春艳. Cartan型李超代数的结构[D].哈尔滨:哈尔滨师范大学, 2015.

2010 MSC: 17B05

Maximal root-graded subalgebras of Witt Lie superalgebras

Chai shu′nan , Liu Wende
(Department of Mathematics, Harbin Normal University, Harbin 150025, China)

Abstract:Let W(m,n) be the finite dimensional Witt Lie superalgebras over algebraically closed fields of characteristic p＞3. We prove that maxmimal root-graded subalgebras of W(m,n) are maximal Z-graded subalgebras of W(m,n). Then we characterize all maximal root-graded subalgebras of W(m,n). It is helpful to further understand the intrinsic properties of Witt Lie superalgebras W(m,n).

Key words:Witt Lie superalgebras, Cartan subalgebras, maximal root-graded subalgebras

通讯作者：刘文德(1965-),博士,教授,研究方向：李代数与李超代数.

作者简介：柴姝楠(1993-),硕士生,研究方向：李代数与李超代数.

基金项目：国家自然科学基金(1171055, 11471090, 11501151);黑龙江省自然科学基金(A2015003).

收稿日期：2015-06-18.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.009

中图分类号：O152.5

文献标识码：A

文章编号：1008-5513(2016)01-0060-07