浅析逆向思维在高中数学中的应用

吴香娥

摘 要：逆向思维是一种在数学教学及学习过程中体现出来的创新能力，是在数学教学过程中关于创造性思维十分重要的组成部分。在解数学题时，有些题目如果从正面入手很难找到思路，不妨变换角度，运用逆向思维寻找解题突破口。逆向思维也是数学高考思维能力考查的一个要点，从几个方面浅谈逆向思维在解题中的体现。

关键词：逆向思维；集合；命题

对于数学这门学科而言，数学思维是非常重要的一种能力。当学生遇到数学问题时，就会以相应的数学思维方式进行解决。而数学思维也根据其思维的方式分为正向思维与逆向思维，通常来说，学生都以一种正向思维的模式解决问题，而在教育事业不断发展的今天，运用逆向思维解决问题，在高中数学课堂中也有了其全新的价值。

任何事物都有正反两个方面，也有许多问题正面入手困难重重，若改由反面入手却常常能出奇制胜。逆向思维在许多情况下能够帮助我们克服正常思维中出现的困难，拓展思路，开拓认识的新领域。正难则反易，数学问题的解决也是这样。下面从几个方面谈谈我对正难则反思想的体会。

一、逆向思维在集合中为补集思想

当题目直接求解较繁、较复杂甚至不能求解时，通过先求得问题的反面进而求其补集，以达到解决问题之目的。

例1.三个方程x2+4px-4p+3=0，x2+（p-1）x+p2=0，x2+2px-2p=0中至少有一个方程有实根，试求p的范围。

分析：本题从正面入手应分类求解，繁不堪言，若从反面“三个方程均无实数根”思考，在实数范围内除去反面求得的解即为m的取值范围。

解：若三个方程都没有实根，则

16p2-4（-4p+3）<0（p-1）2-4p2<04p2+8p<0解得-■

∴三个方程至少有一个方程有实根，p的取值范围是p≤-■或p≥-1。

二、逆向思维在命题中为逆否命题

逻辑学认为原命题与它的逆否命题是等价的，也就是原命题真，则它的逆否命题也真。

在一些命题的真假性或条件与结论的充分必要性的判断中，正面判断比较难或者不容易理解，那么不妨跳出思维框架，转化为考虑逆否命题的真假性或者利用逆否命题判断充分必要性。

例2.（xy-2）2+（y-2）2≠0的充要条件是 。

分析：从正面入手，xy-2与y-2中至少有一个不等于0，这对很多学生而言都有一定的难度，但若从反面来看，（xy-2）2+（y-2）2=0的充要条件是：xy=2且y=2，能得到x=1且y=2。那么利用逆否命题就能得到（xy-2）2+（y-2）2≠0的充要条件是x≠1或y≠2。

从逆否命题来处理确有茅塞顿开、恍然大悟的感觉。

三、逆向思维在证明中为反证法

反证法是一种间接对问题证明的方法，其解题思路就是：当问题的反面被否定之后，那么其正面就一定是正确的。具体来讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，则假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

例3.已知：一个整数的平方能被2整除。求证：这个数是偶数。

证明：设整数a的平方能被2整除，假设a不是偶数。

则a是奇数，不妨设a=2k+1（k是整数）

∴a2=（2k+1）2=4k2+4k+1=4k（k+1）+1

∴a2是奇数，与已知矛盾。

∴假设不成立，所以a是偶数。

四、逆向思维在排列组合、概率中为间接法

有些排列组合问题，根据题目的结构特征，需要变换观察的视角，改变思考的路径，采用“倒过来想”“正难则反”的逆向思维策略，以此来达到顺畅解题的目的。

例4.大街上有编号为1，2，3，4…10，11，12的十二盏灯，若关掉其中三盏灯，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，那么不同的关灯方式有（ ）种。

分析：本题若从正面探究，较为复杂，若调整解题角度，变为9个亮灯中间8个空隙中插入3个关掉的灯，易得关灯方式为：C38=56种。

例5.袋中有12个不同的红球和18个不同的白球，规定取出一个红球得2分，取出一个白球得3分，如果从袋中取出若干个球得70分。试求这类取法的不同种数。

分析：若从正面考虑：取出若干个红球或白球使其积分之和为70分，太复杂。于是从反面入手，假设将球全部取出的总分数是2×12+3×18=78分，比70分多8分，而8分的产生只有两种情况：一是剩下4个红球，二是剩下1个红球和2个白球。根据取法等于剩法的原理，故这类取法应为C412+C112C218=2331种。

在此类问题中如果善于运用正难则反的思想，可以使问题的解决事半功倍，而且减少了计算环节，也能减少由计算带来的不必要的错误。

通过以上分析，我们可以看出，逆向思维在高中数学解题中起着重要作用。对有些数学问题如果从正面入手求解繁琐、难度较大，不妨实行“正难则反”策略，转化为考虑问题的相反方面，往往能绝处逢生、开拓解题思路、简化运算过程。通过对逆向思维进行恰当应用，能够使很多以正常思维方式难以解决的问题变得简单。同时，逆向思维作为正向思维的补充，需要在教学中使学生品尝到应用正难则反思想的甜头，就会进一步激发他们学习数学的兴趣，以达到拓展思维，增强解题技能，培养思维的灵活性和创造性之目的。

参考文献：

陶鹏.高中数学教学中逆向思维的培养[J].数学学习与研究，2010（23）.

？誗编辑 李建军