选修4系列考点预测

2016-05-14 21:43童其林
广东教育·高中 2016年6期
关键词:极坐标坐标系直角坐标

童其林

新课标数学全国一卷一直是河南、河北、山西高考使用的数学试卷,2015年加入了考试大省——江西,2016年高考又增加使用新课标数学一卷的省份:广东、湖北、陕西、福建、安徽.如此多的省份参加全国一卷的考试,作为使用此卷的老师和考生,就很有必要研究新课程全国卷1的命题特点,打有准备之仗,比如全国一卷比较重视课本内容的融会贯通,中档题占的比重较大,题型较为稳定,等等.本文主要对选修4的考情进行简要分析,重点对选修4的考点进行预测,希望考生对此内容的复习备考有帮助.

一、考情分析

全国数学一卷后面的三道选做题,即选修4~1几何证明,选修4~4坐标系与参数方程,选修4~5不等式选讲,考生只要做一道就可以了,满分10分.一般每道题都有2问,难度中等或偏下(一般来说,比广东省自主命题此内容时的题目难一些),是考生的拿分题.虽然选做题在整份试卷中排在最后,但一般要先于20,21完成,确保得满分.拿下了这个易得分的问题后,再攻克难题,可为自己赢得更好的成绩奠定基础,树立信心.

二、考纲要求

1. 几何证明选讲

(1)理解相似三角形的定义与性质,了解平行截割定理.

(2)会证明和应用以下定理:

①直角三角形射影定理;

②圆周角定理;

③圆的切线判定定理与性质定理;

④相交弦定理;

⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理;

⑥切割线定理.

2. 坐标系与参数方程

(1)了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

(2)了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.

(3)能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.

(4)了解参数方程,了解参数的意义.

(5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.

3. 不等式选讲

(1)理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:

①|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);

②|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R).

(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:

|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a.

(3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.

三、考点预测

(一)几何证明选讲预测

热点一:理解相似三角形的定义与性质,了解平行截割定理

例 1. 如图,AB是圆O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交圆O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.

(Ⅰ)求证:DE是圆O的切线;

(Ⅱ)若=,求的值.

解析:(Ⅰ)如图,连接OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC,∴OD∥AE.

又∵AE⊥DE,∴OD⊥DE. 又OD为半径,∴DE是圆O的切线.

点评:由于平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,所以(Ⅱ)也可以从OD∥AE直接得到. 值得注意的是,相似三角形的定义与性质是几何证明选讲考查的重点之一.

热点二:会证明和应用直角三角形射影定理、切割线定理

例2. 如图,已知⊙O是Rt△ABC的外接圆,AB是Rt△ABC的斜边,点P为AB的延长线上一点,且PC与⊙O相切,过点C作AB的垂线,垂足为D.

(Ⅰ)求证:OC2=OD·OP;

(Ⅱ)若PA=9,PC=3,求线段CD的长.

解析:(Ⅰ)证明:因为PC与⊙O相切,所以OC⊥PC,即∠OCP=90°=∠CDO,又∠COD=∠POC,∴△COD∽△POC,∴OC2=OD·OP.

(Ⅱ)由切割线定理,得PC2=PA·PB,解得PB=1.

所以AB=8,即Rt△ABC的外接圆半径r=4,因为PC与⊙O相切,所以OC⊥PC,在Rt△POC中,由面积法得OC·PC=PO·CD,解得CD=.

【点评】问题(Ⅰ)即要重新证明直角三角形射影定理,其实考纲要求的六个定理都要会证明.本题考查的是圆的切线的性质,相似三角形的判断,切割线定理的应用.

例3. 如图,P为⊙O外一点,PC交⊙O于F,C,PA切⊙O于A,B为线段PA的中点,BC交⊙O于D,线段PD的延长线与⊙O交于E,连接FE. 求证:

(Ⅰ)△PBD∽△CBP;

(Ⅱ)AP∥FE.

证明:(Ⅰ)如图,∵PA切⊙O于A,BA2=BD·BC,∵B为线段PA的中点,∴PB=BA,∴PB2=BD·BC,∵∠PBD=∠CBP,∴△PBD∽△CBP.

(Ⅱ)∵△PBD∽△CBP,∴∠BPD=∠C,∵∠C=∠E,∴∠BPD=∠E ,∴AP∥FE.

热点三:会证明和应用圆的切线判定定理与性质定理

例4. 如图,已知C是以AB为直径的半圆O上一点,CH⊥AB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G.

(Ⅰ)求证:F是BD的中点;

(Ⅱ)求证:CG是⊙O的切线.

证明:(Ⅰ)∵CH⊥AB,DB⊥AB,∴△AEH∽AFB,△ACE∽△ADF,∵HE=EC,∴BF=FD,∴ F是BD中点.

(Ⅱ)如图,连接CB、OC,

∵AB是直径,∴∠ACB=90°.

在直角三角形DCB中,∵F是BD中点,CF是斜边BD的中线,所以CF=BD=BF,∴∠FCB=∠CBF,又∠CBF=∠CAO=∠ACO,∴∠OCF=∠OCB+∠BCF=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°,

∴CG是⊙O的切线.

点评:注意使用已得到的结论,用到的知识点为:两三角形相似,对应线段成比例;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 解答此题还要注意学会看图,有些图形旋转之后,元素之间的关系是不变的,但可能增加了读图的难度.

热点四:会证明和应用圆内接四边形的性质定理与判定定理

例5. 如图,AE是圆O的切线,A是切点,AD⊥OE于D,割线EC交圆O于B、C两点.

(Ⅰ)证明:O、D、B、C四点共圆;

(Ⅱ)设∠DBC=50°,∠OBC=30°,求∠OEC的大小.

解析:(Ⅰ)证明:连接OA、OC,则OA⊥EA.由射影定理得EA2=ED·EO.

由切割线定理得EA2=EB·EC,

故ED·EO=EB·EC.

又∠OEC=∠OEC,所以△BDE∽△OCE,

所以∠EDB=∠OCE.

因此O,D,B,C四点共圆.

(2)因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°,结合(Ⅰ)得∠OEC=180°-∠OCB-∠COE=180°-∠OBC-∠DBE=180°-∠OBC-(180°-∠DBC)=∠DBC-∠OBC=20°.

点评:(Ⅰ)由EA、EC分别为切线和割线,可利用切割线定理,由EA为切线,AD⊥EO,在Rt△EOA中可利用射影定理,这样可得到边的比例关系式.要证O、D、B、C四点共圆,只需证明对角互补或外角等于内对角,结合条件与结论可考虑证明三角形相似,即△BDE∽△OCE.

(Ⅱ)给出∠DBC与∠OBC的大小,欲求∠OEC的大小,由外角定理∠OEC=∠DBC-∠BDE,由OB=OC知∠OBC=∠OCB,沟通两者的桥梁是(Ⅰ)的结论,∠BDE=∠OCB,于是获解.实际上本小题即证明∠OEC=∠DBC-∠OBC.

热点五:会证明和应用圆周角定理、相交弦定理

例6. 如图,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:

(Ⅰ)BE=EC;

(Ⅱ)AD·DE=2PB2.

证明:(Ⅰ)连接AB,AC. 由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD,因此BE=EC.

(Ⅱ)由切割线定理得PA2=PB·PC.

因为PA=PD=DC,所以PD2=(PD-BD)·2PD,∴PD=2BD,∴DC=2PB,BD=PB.

由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,

所以AD·DE=2PB2.

点评:解答几何证明问题,应保持清醒的头脑,不断追问:已知是什么,未知是什么,用什么沟通.

【方法点拨】这一部分主要命题方式是将圆的有关角、比例线段或圆内接四边形和三角形相似结合,求角,求线段长,证明元素之间的关系等,注意依据条件和结论选择思维方向,如:①给出切线时,常作辅助线是作过切点的半径,考虑方向是切割线定理,直角三角形射影定理、弦切角与圆周角的互化等;②给出平行线时,主要考虑角的关系及三角形相似;③有关圆的问题,求线段长时,常考虑相交弦定理、切割线定理、射影定理、垂径定理;④证明比例线段,主要通过三角形相似.

(二)坐标系与参数方程预测

热点一:了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况

例7. 已知曲线C的极坐标方程是?籽=1,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为x=1+,y=2+t,(t为参数).

(Ⅰ)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;

热点二:极坐标系下点坐标、曲线方程互化及性质处理,直角坐标系下曲线参数方程互化及性质处理

例8.(Ⅰ)在极坐标系中,P是曲线ρ=2sinθ上的动点,Q是曲线ρ=1上的动点,试求|PQ|的最大值;

(Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=2+2t,y=1-t(t为参数),椭圆C的参数方程为x=2cosθ,y=sinθ(θ为参数),试在椭圆C上求一点P,使得点P到直线l的距离最小.

解析:(Ⅰ)ρ=2sinθ化为直角坐标方程为x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=12.

ρ=1化为直角坐标方程为x2+y2=1,两圆圆心距为1,两圆半径均为1,所以PQ的最大值为1+2×1=3.

热点三:能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程

例9. 在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=9,圆C2:(x-3)2+y2 = 9.

(Ⅰ)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);

(Ⅱ)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.

2. 求简单曲线的极坐标方程的方法

①设点M(ρ,θ)为曲线上任意一点,由已知条件,构造出三角形,利用正弦定理求解OM与θ的关系;

②先求出曲线的直角坐标方程,再利用极坐标与直角坐标的变换公式,把直角坐标方程化为极坐标方程.

3. 求曲线参数方程的一般步骤

第一步,画出轨迹草图,设M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系.

第二步,选择适当的参数,参数的选择要考虑以下两点:①曲线上每一点的坐标x,y与参数的关系比较明显,容易列出方程;②x,y的值可以由参数唯一确定.

第三步,根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等,建立点的坐标与参数的函数关系式,证明可以省略.

4. 参数方程与普通方程的互化

(1)参数方程化为普通方程——消去参数

消去参数的常用方法有:①先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示),再代入另一个方程,即代入法;②利用三角函数中的恒等式消去参数,运用最多的是sin2α+cos2α=1,即三角公式法;③整体观察,对两式进行四则运算(运用较多的是两式整体相除),或先分离参数再运算.总的来说,消参无定法,只要能消参,方法可灵活多样,多法齐用.

(2)普通方程化为参数方程——选参数

一般来说,选择参数时应考虑以下两点:①曲线上每一点的坐标(x,y)都能由参数取某一值唯一地确定出来;②参数与x,y的相互关系比较明显,容易列出方程.参数的选取应根据具体条件来考虑.可以是时间,也可以是线段的长度、方位角、旋转角,动直线的斜率、倾斜角、截距,动点的坐标等.

在二者互化的过程中,要注意等价性,注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变,如果发生改变则它们所表示的曲线就不是同一曲线.

(三)不等式选讲预测

【方法点拨】1. 解绝对值不等式要掌握去绝对值符号的方法,必要时运用分类讨论的思想,有时也可利用绝对值的几何意义解题.去掉绝对值符号的方法主要有:公式法、分段讨论法、平方法、几何法等.这几种方法应用时各有侧重,在解只含有一个绝对值的不等式时,用公式法较为简便;但是若不等式含有多个绝对值时,则应采用分段讨论法;应用平方法时,要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用.因此,在去绝对值符号时,用何种方法须视具体情况而定.

2. 在对不等式证明题进行分析,寻找解(证)题的途径时,要提倡综合法和分析法同时使用,如同打山洞一样,由两头向中间掘进,这样可以缩短条件与结论的距离,是数学解题分析中最有效的方法之一.

3. 作差比较法一般适用于式子为多项式、对数式、三角式结构;作商比较法一般适用于式子为乘积、幂结构.

4. 运用“f(x)≤a?圳f(x)max≤a,f(x)≥a?圳f(x)min≥a”可解决恒成立问题中的参数范围问题.

5. 注意区分a

责任编辑 徐国坚

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