浅谈基本概念对于考研数学的重要性

李莹莹

摘 要：概念对于大学数学就像骨架对于一个人的身体，没了骨架，一个人怎么站立得起来？近年来，考研数学越来越重视对基本概念的考查，本文通过分析高等数学、线性代数、概率统计重要考点的分析思路，阐明要想学好数学，基本概念非常重要，牢固掌握基本概念是学好数学，做好数学的前提。

关键词：数学；基本概念；随机变量

中图分类号：G623.5文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）01-0119-01

数学是工科、经济管理、农学等专业考研必考的课程，试卷满分150分，涉及到高等数学、线性代数、概率论与数理统计三个部分的知识，从近些年的考题分析看，试题越来越重视对基本概念、基本原理、方法的考察，很多计算也都是概念的计算。大学数学的信息含量大，但对于很多同学来说进入大学学习数学仍然沿用高中的学习方法，死记公式，偏重于解题的技巧性，而忽视了基本概念，导致学习效果不理想。实际上概念对于大学数学就像骨架对于一个人的身体，没了骨架，一个人怎么站立得起来？因此，牢固掌握基本概念是学好数学，做好数学的前提。

高数的主要部分是微积分，因此导数、微分、积分的概念是同学们一定要掌握的，教材及各种参考书籍都以他们为考点设计了很多题目。以导数的定义为例，很多同学都对高中基本公式求导的方法记忆深刻，而忽视了定义才是所有导数公式的根源。

例1 已知f（x）是周期为5的连续函数，且在x=0的某个领域内满足关系式

f（1+sinx）-3f（1-sinx）=8x+°（x），

且f（x）在x=1处可导，求曲线y=f（x）在点（6，f（6））处的切线方程[1]。

分析：（1）切点已知，求得切线斜率，即得切线方程，导数f′（6）就是切线斜率；

（2）周期函数的导数仍为周期函数，且周期不变，f′（6）=f′（1）；

（3）f′（1）与f（1）有关，先求f（1）=0；

（4）利用导数的定义，结合已知关系式，求得f′（1）=2。

以上分析过程每一步骤都紧扣数学中的基本概念，而且当我们解题力不从心时，从基本概念着手思考是行之有效的方法。我们都知道对于分段函数在分段点处的导数，应该用定义去求解；再形如：f（x）=（x-a）g（x），g′（a）存在，求f′（a），题目中并没有给出g′（x）存在，乘法法则是万万不能用的。参数方程所确定的函数的二阶导公式不建议同学们去背，如果理解了二阶导数的概念，计算时自己处理，反而简单很多。

线性代数中特征值和特征向量是非常重要的考点，特征值特征向量的计算方法来源于公式。例如设α=（1，1，-1）T是矩阵A的特征向量，求A中的参数。解题思路：Aα=λα，即可求得未知参数及λ，应用的正是特征值特征向量的定义。向量的线性相关性定理、结论很多，初学时压力很大，但这些结论和定理基本都是由线性组合、线性相关、线性无关的定义得出，结合定义去记很容易掌握。

很多同学都认为概率论与数理统计是考研数学中最难掌握的部分，其实不然。概率统计相对高数来说知识含量相对较少，考点集中，计算难度较小，但仍要求掌握其基本概念。随机变量函数的分布是难度较大的知识点，一维随机变量函数的分布、二维随机变量函数的分布都有公式，首先公式不好记，再则公式也有成立的条件，不能处理所有的题目。根据分布函数的定义，有如下的处理步骤（以一维为例）：

（1）FY（y）=P{Y≤y}=P{g（X）≤y}

=P{X∈Iy}=∫IyfX（x）dx

（2）fY（y）=FY′（y）。

在计算FY（y）时根据题目的要求，需对y进行分段，分段的依据是y不同，积分区间不同，被积函数不同，但无论y如何变化，我们每次都是在区间（-∞，y）上积分，因为分布函数是Y≤y的概率，计算过程中把握住定义是关键。

条件概率与两个事件同时发生的概率学生在学习过程中容易混淆，根据条件概率的定义，已经发生的事件是条件，两者的本质区别是样本空间不同。

例2 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X=i}=13，i=-1，01，Y的概率密度函数fY（y）=1，0≤y<10，其他，记Z=X+Y，求P{Z≤12|X=0}[2].

解：P{Z≤12|X=0}=P{X+Y≤12|X=0}=P{Y≤12}=∫120dy=12

错误解法：根据条件概率公式P{Z≤12|X=0}=P{X+Y≤12，X=0}P{X=0}

在高等数学中若x=0，x+y≤12等价于y≤12，则上式等于P{Y≤12}P{X=0}=32.显然不对。错误的原因在于P{Z≤12|X=0}=P{Y≤12}，而 P{X+Y≤12，X=0}≠ P{Y≤12}，没有理解条件概率的意义，已经发生的事件才是条件。

大学数学的知识含量比起中学要丰富的多，要想学好数学，必须记住“基本概念非常重要”[3]，所有问题从本源学起，重概括，重联系，才能灵活变通，化繁为简，快乐学习。

（作者单位：长江大学文理学院）

参考文献：

[1]同济大学数学系，高等数学（第六版），高等教育出版社，2007.4.

[2]范培华.考研数学历年试题解析（数学三），中国政法大学出版社，2015.1.

[3]邹群.考研高等数学专题讲解，同济大学出版社，2015.1.