杨辉标准正态分布几何量数学模型和函数表

刘立云 干有成 赵霖 黄裕泉

摘 要 杨辉三角数表（1262年）是由2^N推演而来，当N=4时，标准正态分布是二项式（A+B）^N展开的系数比（1：4：6：4：1），它的几何量数学模型，是由元代数学家朱世杰（1299年）发明的，但在官方已经失传，仅在民间流传。本文根据朱世杰的“斤求两和两求斤”的16字口诀，重建标准正态分布几何量数学模型，根据数学模型和统计公式（四则运算），揭示标准正态分布中“频数、百分率、总数、总量、平均数、中位数、标尺（量表）量和分辨率”八种不同概念之间的数和量的对应关系，从而证明它是当今最科学、简明、直观、精准的数学模型，并可以造福于当今的全人类和社会。

关键词 杨辉三角数表 几何量数学模型 几何量统计公式 几何量函数表

中图分类号：O211 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.06.017

Abstract Yang Hui triangle is derived from“2^n”.When N=4. The coefficient ratio of the standard normal distribution is "1：4：6：4：1".Its mathematical model of geometric quantity was invented by mathematician Zhu Shijie in the Yuan Dynasty year 1299. But this invention has been lost in the official， only in folklore. According to the "16"words formula， the mathematical model of standard normal distribution has been reconstructed and its statistical formula has been derived. The correspondence between the number and the amount of the eight concepts （frequency percent the sum total amount average median volume scale resolving power） has been uncovered. This indicates that it is the most scientific and intuitive accurate standard normal mathematical model. It can be used in modern society.

Key words Yanghui Number of Triangle Table； Mathematical Model of Geometrical Quantity； Statistical Formula of Geometrical Quantity； Function Table of Geometrical Quantity

1 杨辉三角数表

我国古代数学家杨辉，早在1262年的“详解九章算法”中，用三角数表展示出二项式展开系数对称分布的规律。在各种对称分布中，自然数为偶数（2、4、6…）项时，其对称分布为单峰型，为奇数（1、3、5…）项时，对称分布为双峰型。在所有单峰型中，N=4的分布频数比是“1：4：6：4：1”，累加总数为16，分别对应的量表数为（1、2、3、4、5）如图1。

2 杨辉三角标准正态分布几何量数学模型①

3 杨辉三角标准正态分布几何量统计公式（表1）

3.1 以频数为自然数计算累加百分位：累加频数/总数

计算16个单个方形面积和累加方形面积与总面积的比例及其百分率：16块方块的总面积为“1”，计算单个方块和累加方块分别在总面积中所占的比例及其百分率，即是古代“斤求两与两求斤”16字口诀：一退625（0.0625）、二125（0.125）、三1875（0.1875）、四25（0.25）、五3125（0.3125）、六375（0.375）、七4375（0.4375）、八作5（0.50）、九5625（0.5625）、十625（0.625）、十一6875（0.6875）、十二75（0.75）、十三8125（0.8125）、十四875（0.875）、十五9375（0.9375）、十六为1（图3）。四个阈值点（量表）对应的累加频数分别为“1”，百分位為（6.25%），累加频数为“5”，对应的百分位为（31.25%），累加频数为“11”对应的百分位为（68.75%），累加频数为“15”，对应的百分位（93.75%），累加频数为“16”对应百分位为（100%）。图3标明，频数“1”对应的量表区为“1”和“5”；频数“4”对应的量表区为“2”和“4”；频数“6”对应的量表区为“3”。可用人的五个手指为例，来说明频数和量表的关系：竖起大拇指为“优”（100～90）、伸出食指为“良”（90～80）、中指为“中”（80～70）、无名指为“及格”（70～60）、小拇指为“差”（60以下）；五个手指的四个缝隙为量块的界线，手指图上的“1、2、3、4”为四个阈值点，“0”和“5”为起点和终点，六点、五区、四个阈值点。阈值点是性质变化界点，多0.1分为“优”、少0.1 分则为“良”，同理则为“中”、“及格”和“不及格”之分。真可谓是差之毫厘，微量的变化就会导致质级的差异。

3.2 以量表为自然数计算对应的频数和累加百分位②

分辨率分别扩大一个数量级，即计算160个单个方块面积和累加方块面积与总面积的比例及其百分率；依次类推，量表量可分别扩大、百倍、千倍、万倍等。根据朱世杰的16字口诀，即可计算出五级百分位的精确函数值，用表格的形式表示，即是标准正态分布的函数表。

3.3计算总量、平均量和中位量

传统统计学正态分布为点数量数学模型：频数比（1：4：6：4：1）对应的量表为（1、2、3、4、5），因此总量=48，均量=48/16=3，中位量天经地义地也等于3 。两个模型中位量的差异为0.5个单位。总数量越大，差异量越小。以至于可以忽略不计。因此传统的统计学也可称为宏观统计学，允许误差为“0.5”，它是开放系统的概率估算值。总误差接近为“0”，总面积接近为“1”；而古代朱世杰的标准正态分布几何量数学模型则是封闭系统独立事件的精准计量学。因为它将量块的中心量和量块的边端量区别开了（图3）。

4 高斯标准正态分布统计公式、数学模型和函数表

4.1 高斯标准正态分布统计公式④

4.3 高斯标准正态分布函数表⑤

高斯标准正态分布数学模型是均分为“0”，标准差为“1”的鐘形面积图（图5） ，而杨辉三角几何量标准正态分布数学模型是中位量为“2.5”量表幅度为“0-5”，频数比为（1：4：6：4；1）的塔形数学模型，二者标准差相同，皆为“1”。但是二者几何图形则不同。量块塔形几何图形的量块，可见、可数、可计算，而钟形的面积几何图则是意象型图形，其统计公式的推导，非常人所能理解，其函数值为概率估算值，非精确计算值；无频数、百分率、量表量及其对应总量；钟形面积几何图只能与横轴无限接近，永远不可能与横轴相交，属开放型系统，面积总和只能接近“1”，永远不可能等于“1”，而杨辉标准正态分布几何量数学模型，则是简单的几何方块面积图，在二维坐标图上是封闭型的自检系统，误差总和为“0”，面积总和为“1”。

杨辉标准正态分布塔形总面积由16块均等的长方块面积组成。从图3可见，塔形总面积转换成三角形总面积，后者丢失标记为“？”三角形面积的1/64，对称分布的另一面也为1/64，二者之和为丢失的总面积1/32；若二项式的5次方展开的塔形总面积，则由32块均等长方块构成，标记为“？”三角形面积为1/128，二者之和为丢失的总面积则为1/64；由此可以推断，从长方形面积转换成三角形面积或钟形面积的过程中，群体总数愈大，丢失的面积则越小，二者的面积趋向“等同”，但是不会“相同”，误差永远存在。而“1299年朱世杰16字口诀”的封闭系统中量块面积，用算术四则运算方法即可计算出精确的函数值，其误差为“0”。渐变形的三角形几何面积图变形，构成意向性高斯钟形几何面积图，其总面积只能接近于“1”，永远不会等于“1”。通过高斯标准正态分布统计公式计算出的值，则是高斯标准标准正态分布概率估算值。

5杨辉与高斯阈值量比较

杨辉标准正态分布有显著的阈值点，而高斯钟形几何图没有明显的阈值点；前者根据16字口诀就能报出每一分的函数值，后者无法直接计算只能查高斯函数值表。两个函数表相比，其精准度不同（图4）：A区总量的差别=7%6.25%= 0.75%，B区总量的差别=25%-24%=1%，C区总量差别=38%37.5% = 0.5%。阈值点累加量的差别：A点：0.070.0625= 0.75%，B点31%31.25%= 0.25%，C点：69%68.75%= 0.25%，D点：93%93.75%= 0.75%。

6 结论

杨辉三角标准正态分布几何量数学模型推导出的16字口诀和五级百分函数值，它属于社会公用普通大众通俗易懂的五指几何量数学模型和函数值，它具有更广泛和更深层次的应用价值和前景。例如，在教育统计考试成绩，社会公用计量标准的研究中，它可以证明“中国传统的五级百分制”是“群体考试成绩社会公用计量标准中最科学的一种，它能为学业成绩等级划分和学业等级点平均分（GPA）的计算提供科学依据，从而能够结束国内外考试成绩计量标准的混乱现象；进而能使它成为“群体考试成绩社会公用计量”标准，即国家标准和国际标准提供科学依据。

注释

① 李德明，王傲胜.计量学基础.同济大学出版社，2007.

② 黄裕泉，樊正忠.遗传学.北京：高等教育出版社，1989.

③ 赵寿元，黄裕泉.人类遗传学概论.上海：复旦大学出版社，1996.

④⑤张厚粲，徐建平.现代心理与教育统计学.北京师范大学出版社，2009.