求解物理最值题 方法灵活就容易

华兴恒

在求解物理问题时，我们经常会遇到求最大值或最小值问题.在求解此类问题时，应根据题目的特点，开拓思维，灵活多变地选择多种多样的解题方法，才能顺利获解.

一、运用配方法求解

【例2】质量为m1的入射粒子与一质量为m2的静止粒子发生正碰. 已知机械能在碰撞过程中有损失，实验中测出了碰撞后第二个粒子的速度为v2，求第一个粒子原来的速度v0的值的可能范围.

四、运用几何方法求最值

有时物理量在几何图形上变化时，可借助于几何知识求最值.

【例7】如图4所示，用一细绳OB将电灯拉住，使它偏离竖直方向，今要保证电线AO与天花板成θ角不变，问OB沿什么方向，其绳拉力最小？

解析：先作出电灯受力图，如图5所示.将重力G分解为F1和F2，重力（即合力）不变.当OB绳方向改变时，由于F2方向不变，也就是与F2平行的那条虚线位置不变.由力的平衡知识可知，绳OB的拉力与F1相等.而F1的矢量末端必在与F2平行的这条虚线上移动.由几何知识可知，从一点到一条直线所作的诸多线段中，以垂线段为最短.故只有当F1垂直于F2时（即OB与AO垂直时），OB绳所受拉力最小，其最小值为Fmin = Gcosθ.

五、运用特殊三角函数求最值

在正弦（或余弦）函数中，当角度在90°或0°时，函数有最大值或最小值（最小值或最大值）.利用特殊三角函数的这一特点可求物理量的最值.

【例8】以初速度v0沿与水平面成θ角向斜上方投掷一手榴弹，问θ角为多大时，投射的水平距离最远？（不计空气阻力）

【例10】用绳子拉物体在粗糙地面上匀速前进，问绳的方向应与地面成怎样的角度时最省力？（设物体重量为G，与地面的摩擦因数为μ）

解析：画出物体受力图，如图8所示.由物体平衡条件有Fcosθ=（G-Fsinθ）μ，则F=，这里a=μ，b=1.

因μ、G为定值，所以当μsinθ+cosθ有极大值时，F有最小值.根据前面推导出的结论，θ=-tan-1或写成θ=tan-1，F有最小值.

七、运用积为定值的函数性质求最值

由数学知识可知，对于n个正数的积为定值（k），则当此n个正数相等时，其和有最小值，且最小值为n.运用这一性质常常可以顺利地求解物理量的最值.

【例11】有相同干电池36节，每节干电池的电动势为1.5V，内阻为0.5Ω.现用来给电阻为2Ω的外电路供电，要使外电路中电流最强，应如何将这些电池连接起来？

解析：必须将这些干电池组成混联电池组.设干电池总数为n，每组有m个串联，则有组并联.由全电路欧姆定律有I==.

由上式可知，因nE值一定，要使I最大，必须要+mr为最小.有上面的数学知识结论可以看出，只有=mr（因×mr=nRr为定值）时，分母才有最小值，故m===12（节）.所以应将电池分为三组，每组12节对外供电时，外电路获得的电流才最大.

八、运用和为定值的函数性质求最值

数学知识告诉我们，对于n个正数的和为定值（k），则当此n个正数相等时，其积有最大值，其值为（）n.运用这一性质可求物理问题的最值.

【例12】如图9所示的电路中，R1=2Ω、R2=3Ω，滑动变阻器R′=5Ω，电源电动势E与内阻r为定值.问将滑动变阻器的滑片P滑到RAP为何值时，电池输出的电流最小？

由上式可知，要使R外最大，I才能最小.而要使R外最大，必须使（2+RAP）（8-RAP）最大，这里（2+RAP）与（8-RAP）之和为定值，根据前述的数学结论，必须满足2+RAP=8-RAP，解得RAP=3Ω.也就是变阻器R′的滑片必须滑到RAP=3Ω时，电源输出电流在最小.

【例13】如图10所示，一条均匀的柔软铁链，总长度为l，质量为m，放在光滑桌面上，由于其一端有少量伸出桌面下垂而牵动整条链条下滑.不计一切摩擦，试求铁链与桌边接触处铁链张力的最大值.

解析：设铁链下垂部分的长度为x时，张力T最大.则根据牛顿第二定律，对桌面上的铁链部分有T=（l-x）a；对铁链的下垂部分有xg-T=xa.以上两式中的a为铁链的加速度.

八、运用不等式求最值

数学知识告诉我们，任意个数的算术平均数总不小于它们的几何平均数，即（a1+a2+…+an）≥，当a1=a2=…=an时，等号成立，则a1a2…an有最大值.因此如果能找到算术平均数，则几何平均数的最大值也就确定了.

【例14】如图11所示，长为l的细绳一端固定在O点，另一端系一小球（质量为m）.现将绳拉至水平后无初速释放小球，问线与水平方向的夹角θ为多大时，小球有最大的竖直分速度？

九、条件分析法

利用题目所给的已知条件，通过分析物理过程，找出达到最值的条件，从而运用该条件列方程求出最值.

【例15】如图12所示，一个U型导体框架，宽度l=1 m，其所在平面与水平面交角为θ=30°，其电阻可以忽略不计.匀强磁场与U型框架的平面垂直，磁感应强度B=0.2T.现有一条形导体ab，其质量m=0.2kg，有效电阻R=0.1Ω，跨放在U型框架上，并能无摩擦滑动.求导体ab下滑的最大速度vm.

解析：导体开始下滑时，速度为0，导体受重力沿斜面向下的分力作用而加速下滑，此时加速度最大.导体开始运动后切割磁感线，产生感应电流.由右手定则可判断感应电流的方向由b到a，再由左手定则可知，导体受到沿斜面向上的安培力F作用，F是阻碍导体向下运动的，因而会使棒的加速度减小.不过，只要F小于重力沿斜面向下的分力，导体的运动速度就会继续增大.随着导体运动的速度增大，导体产生的感应电动势增大，感应电流增大，安培力F也增大，导体的加速度继续减小.当速度增大到使安培力F=mgsinθ时，导体受的合外力为0，加速度为0，速度不再增大，导体将做匀速直线运动，速度达到最大值.

【例16】如图13所示，光滑水平面上有一小车B，右端固定一沙箱，沙箱左侧连接一水平轻弹簧，小车和沙箱的总质量为M.车上放有一小物块A，质量也为M.物块A随小车以速度v0向左匀速运动，物块A与其左侧的车面的动摩擦因数为μ，与其它车面的摩擦不计，在车匀速运动的过程中，距沙面H高处有一质量为m的泥球自由下落，恰好落在沙箱中.求：（1）小车在前进中弹簧的弹性势能的最大值是多少？（2）为使物块A不从小车滑下，车面粗糙部分至少多长？

解析：（1）泥球落入沙箱时，水平方向动量守恒.有一泥球在水平方向速度为0，故碰撞后小车的速度减小.而A的速度不变（A右侧无摩擦），因此A将与弹簧碰撞，压缩弹簧.在弹簧弹力作用下，A减速，小车加速.只要A的速度大于小车的速度，A将继续压缩弹簧，弹簧的弹性势能将继续增大.当A的速度等于小车速度时，弹簧压缩到最短，此时弹簧的弹性势能最大.此后A继续减速，小车继续加速，A的速度小于小车的速度，弹簧的压缩量减小，弹性势能变小.

（2）由（1）可知，当弹簧恢复原长时，A必相对于小车向左滑动.当A滑上粗糙部分后，在摩擦力作用下作用下，最后相对于小车静止.从A滑上小车粗糙部分开始相对于小车静止的过程中，A相对于小车滑行的距离即为所要求的最小距离.

从弹簧压缩最短到A受摩擦力作用而再次相对小车静止后，它们的共同速度必等于v2，即此过程始、末状态系统的动能未变，因此弹簧减少的弹性势能通过摩擦力做功转化为系统的内能.设A相对于小车滑行的距离为l，则有μMgl=EP，故l=.

说明：条件法求最值，一定要在脑海中形成清晰的物理图像，根据题目提供的条件分析物理过程，找出达到最值的条件.大部分最值问题都可采用此法求解.

通过对以上问题的解析可知，对于求最值的物理问题应根据题目的特点，采用灵活多变的方法求解，才能简捷、顺利获解.对于不同的数学表达式，应按照不同的求解方法，才能更简捷、明快地得出正确的结果.

责任编辑 李平安