一道例题引起的思考

李宁

【摘要】

通过对北师大版必修4教材中一个三点共线例题的研究得到三点共线的充要条件，再加以应用.通过向量与其他数学知识的综合，揭示数学知识之间的内在联系，发挥向量的工具性作用.

【关键词】向量；三点共线；充要条件；应用

一、课本例题的再认识（北师大版必修4例题）

如图，A，B，C 是平面内三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得

PC=λPA+1-λPB.

证明：如图，因为向量BC与向量BA共线，根据向量共线定理可知

BC=λBA.

即PC-PB=λPA-PB，

PC=λPA+PB-λPB，

PC=λPA+1-λPB.

（该例题的结论非常重要，是判断三点共线的重要依据，它的逆命题依然成立，由此可得出三点共线的充要条件.）

二、三点共线的充要条件

A，B，C是平面内不重合的三个点，O是此平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得

OC=λOA+μOB，λ+μ=1.

说明1：OA，OB，OC这三个向量中的任何一个向量均可以用另外两个向量表示，且其系数之和为1.

说明2：特别地，在△OAC中，若B为边AC的中点，则OB=12OA+12OC.

（这是三点共线的向量表示，有了这个重要结论，我们就能用向量的方法解决有关三点共线的问题.）

三、例题分析

例1 如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM=λAB+μAC，则λ+μ=.

解析 因为B，H，C三点共线，故AH=mAB+nAC，m+n=1.而M为AH的中点，故2AM=mAB+nAC，即AM=m2AB+n2AC，m+n=1.又已知AM=λAB+μAC，所以λ+μ=m2+n2=12.

（例1是对三点共线充要条件的直接应用.）

【变式练习】已知△ABC中，AN=13AC，P为BN上一点，若AP=mAB+211AC，则实数m的值为.

解析 因为AN=13AC， 故AP=mAB+211AC=mAB+611AN，而B，P，N 三点共线，故m+611=1，m=511.

例2 已知D是△ABC边BC的中点，过点D的直线分别交AB、AC于M、N，若AM=mAB，AN=nAC，则1m+1n=.

解析 因为D是△ABC边BC的中点，所以AD=12AB+12AC，又AM=mAB，AN=nAC，故AD=12mAM+12nAN，而M，D，N 三点共线，所以12m+12n=1，1m+1n=2.

（例2比例1稍难，但学生通过思考不难发现其本质依然是三点共线的向量表示.）

【变式练习】如图，给定两个长度为1的平面向量OA，OB，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上運动，OC与AB交于点D.若OC=xOA+yOB，x，y∈R，则x+y的取值范围为.

解析 因为向量OD与向量OC共线，所以OD=λOC，λ∈12，1，又由A，D，B 三点共线知OD=mOA+nOB，m+n=1.所以λOC=mOA+nOB，即OC=mλOA+nλOB，m+n=1.又已知OC=xOA+yOB，所以x+y=mλ+nλ=1λ∈1，2.

通过向量与其他数学知识的综合，揭示数学知识之间的内在联系，发挥向量的工具性作用.实际上，我们可以进一步由平面内三点共线的充要条件，类比得到空间中四点共面的充要条件：A，B，C，D是平面内不重合的四个点，O是空间内任意一点，则A，B，C，D四点共面的充要条件是存在实数λ，μ，t，使得