一类三维竞争系统的周期解轨道

姬文娟 李斌 崔明 张烨

【摘要】我们考虑HIV1病毒动力学模型的特殊情况，一类三维竞争系统，通过常微分方程中竞争系统和一致持续系统的性质，证明了高维自治系统周期解的存在性和轨道渐近稳定性.若R0<1，体内病毒可以被清除，疾病最终消失；若R0>1，病毒在宿主体内持续存在，模型解会趋于地方病平衡点或者一个周期解，后者只在一定条件下排除存在的可能性.同时，我们选择合适的参数和阈值，针对几类模型的理论分析进行数值模拟，得到了较为合理的模拟结果并且直观反映了理论分析的合理性.

【关键词】HIV；细胞间传播；稳定性；周期解；竞争系统

本文我们主要证明一类三维竞争系统周期解的存在性和稳定性，同时在模型中不考虑宿主体内的细胞直接接触感染k2项，是为了利用三维竞争系统的性质来得到结论.从而得到下面这个模型：

dTdt=s+pT（1-TTmax）-dTT-（1-ηRT）k1VTdT*dt=（1-ηRT）k1VT-δT*dVdt=NδT*-cV（1）

s表示宿主体内产生健康T细胞的比例，当然已有的T细胞也能够产生健康T细胞，p表示最长生命周期率，Tmax表示T细胞在其生命周期内产生的T细胞种群密度.假设健康细胞T的自然死亡率dT和被感染细胞T*的死亡率δ是恒定的，c表示自由病毒粒子V的死亡率.k1VT表示T细胞接触病毒粒子V以后被感染的数量比，k1是恒定的感染率.N表示被感染细胞生命周期内释放的病毒粒子的总数.记f（T）=s+pT（1-TTmax）-dTT.

1.周期解的存在性和轨道渐近稳定性

定理5 假如系统（1）存在周期解，那么解轨道是渐近稳定的.

证明.设这个周期解是p（t）=（p1（t），p2（t），p3（t））T，并且假定其最小正周期是ω>0.根据解的有界性，0≤p1（t）≤T0，对t∈[0，ω].

证明周期解的稳定性需要利用第二次复合方程的方法，构造下面这个系统：

z·=f[2]x（p（t））z，z=（z1（t），z2（t），z3（t））T.（4）

f[2]x=a11+a22a23-a13a32a11+a33a12-a31a21a22+a33

=f′（T）-（1-ηRT）k1V-δ（1-ηRT）k1T（1-ηRT）k1TNδf′（T）-（1-ηRT）k1V-c00（1-ηRT）k1V-δ-c

aij表示系统Jacobian矩阵中第i行第j列的值.（4）是原系统的线性变分方程，也被称为第二次复合方程，f[2]x称为f的Jacobian矩阵fx的第二次复合矩阵.假如系统（4）渐近稳定，那么原系统的周期解p（t）也是渐近稳定的.这是Poincaré关于平面自治系统存在周期解时解的轨道渐近稳定性准则的推广.建立系统的一个Lyapunov函数：

V（z1，z2，z3；p（t））：=sup{|z1|，p2（t）p3（t）（|z2|+|z3|）}，显然上面建立的V函数是恒正的，但是并非处处可微.用V的右导数修正，表示为D+V（t）：

D+（|z1（t）|）≤（f′（p1）-（1-ηRT）k1p3（t）-δ）|z1（t）|+（1-ηRT）k1p1（t）p3（t）p2（t）p2（t）p3（t）（|z2（t）|+|z3（t）|）

D+（p2（t）p3（t）（|z2（t）|+|z3（t）|））=（p·2（t）p2（t）-p·3（t）p3（t））*p2（t）p3（t）（|z2（t）|+|z3（t）|）+p2（t）p3（t）D+（|z2（t）|+|z3（t）|）≤p2（t）p3（t）Nδ|z1（t）|+p2（t）p3（t）（|z2（t）|+|z3（t）|）（p·2（t）p2（t）-p·3（t）p3（t）-c）-p2（t）p3（t）（-f′（p1（t））|z2（t）|+δ|z3（t）|） ≤p2（t）p3（t）Nδ|z1（t）|+p2（t）p3（t）（|z2（t）|+|z3（t）|）（p·2（t）p2（t）-p·3（t）p3（t）-c-min（α*，δ））

0<α*=-maxT∈[0，T0]f′（T）.定義这样一个函数：

g1（t）=f′（p1）-（1-ηRT）k1p3（t）-δ+（1-ηRT）k1p1（t）p3（t）/p2（t）=f′（p1）-（1-ηRT）k1p3（t）+p·2（t）/p2（t）.

这里

g2（t）=p2（t）p3（t）Nδ+p·2（t）p2（t）-p·3（t）p3（t）-c-min（α*，δ）

=p·2（t）p2（t）-min（α*，δ）.

根据上面两个等式g1（t）和g2（t），以及p（t）满足模型，我们易得：D+V（t）≤sup（g1（t），g2（t））V（t）.因为g1（t）≤-α*+p2（t）/p2（t）·，g1（t）≤g2（t），所以有D+V（t）≤g2（t）V（t）.为了证明D+V（t）<0，只须要有∫ω0g2（t）dt<0.

∫ω0g2（t）dt=∫ω0（p·2（t）p2（t）-min（α*，δ））dt<0，∫ω0p·2（t）p2（t）dt=∫ω0dp2（t）p2（t）=0

最终得到D+V（t）<0.因此我们证明了模型具有周期解时，解轨道的渐近稳定性

定理6 当R0>1，但模型（1）的地方病平衡点E1=（T1，T1*，V）不稳定时，模型（1）在D内部存在轨道渐近稳定的周期解.

证明.利用RouthHurwitz准则，容易证得模型（1）在R0>1和f′（T1）<0的条件下地方病平衡点是局部渐近稳定的（证明过程见定理4）.但如果E1不稳定，对模型（1）作一个变换，令w=（X，Y，Z）=（-T，T*，-V），则（1）转换为：

dXdt=-s+pX1+XTmax-dTX+（1-ηRT）k1XZdYdt=（1-ηRT）k1XZ-δYdVdt=-NδY-cZ（5）

模型（5）在w点处的Jacobian矩阵记为t>T（w0）>0（T（0），T*（0），V（0））=（800，500，1000）N=100k1=0.0003w（t，w0）∈R.

记集合W：={（X，Y，Z）：X，Z≤0，Y≥0}，在集合W中J（w）除对角线以外的元素均为非正，所以模型（5）在W中是三维竞争系统.令w*=（X*，Y*，Z*），根据题设中的条件易得，w*是不稳定的，并且det（J（w*））<0.另外，对于w0∈intW，W内部都存在紧集R，使得当t>T（w0）时，对w（t，w0）∈R，都有T（w0）>0.引用文献[10]中的定理1.1和1.2，因为w*是不稳定的，所以模型（7）至少存在一个轨道渐近稳定的周期解.同时由于模型（5）是（1）的线性变换，所以模型（1）至少存在一个轨道渐近稳定的周期解.

2.数值模拟

下图反映了初值取（T（0），T*（0），V（0））=（800，500，1000）时，模型（1）存在一个轨道渐近稳定的周期解.

T、T*和V随时间的变化

图中的参数取值为：s=5，dT=0.008，δ=0.3，Tmax=1500，N=100，c=2.5，ηRT=0.1，k1=0.0003.

本文小结

利用RouthHurwitz准则和构造Lyapunov函数的方法可证明了模型（1）中无病平衡点和地方病平衡点的稳定性.模型（1）是一个三维竞争系统，因此我们可以利用竞争系统的特性和论证周期解的轨道渐近稳定性证明地方病平衡点的性质，并且利用一些小技巧找到了满足周期解存在的参数条件，模拟出了地方病平衡点不稳定时的周期解轨道.