355毫升易拉罐最优设计

戴之卓

【摘要】观察了市场中355毫升易拉罐的形状，从节约材料、美观、焊接等方面对易拉罐进行优化设计，建立了5个层次的数学模型，借助不等式、单调性、一元函數微分等知识进行分析探讨，最后对模型进行拓展改进，提出更合理的数学模型.

【关键词】易拉罐；最优；一元函数微分学

市面上，饮料量为355毫升的易拉罐的形状和尺寸几乎都是一样的，这应该不是偶然现象.易拉罐的设计是在应用很多数学知识优化后设计出来的，我们用数学模型分析易拉罐的形状和尺寸，探寻在某种意义下的最优设计.

1.只考虑材料最省的正圆柱体易拉罐设计

图 1假设包装是标准的圆柱，忽略包装材料的接缝，设圆柱底面半径为r，圆柱高为h，上底厚度为a，圆柱厚度为b、下底厚度为c，易拉罐的容积为V，易拉罐制作用料体积为y，则有

V=πr2h，y=2πrhb+πr2（a+c），

r2h=Vh，

由不等式a+b+c≥33abc[1]可得

y=πrhb+πrhb+πr2（a+c）≥3π3r4h2b2（a+c）=3π3（Vπ）2b2（a+c）

当且仅当πrhb=πr2（a+c），即rh=ba+c时，易拉罐制作用料体积最小.

根据测量，饮料量为355毫升的可乐、雪碧等的易拉罐上底厚度为约在0.034 cm，圆柱厚度约为0.012 cm、下底厚度约为0.040 cm[2]，则rh=ba+c≈0.162，实际下底半径约为3.28 cm，高约为10.90 cm，rh≈0.301，通过该模型测算结果与实践值出入很大.

2.只考虑焊缝工作量最小的正圆柱易拉罐设计

如果易拉罐是图1这样的正圆柱体，焊缝是在上下底圆周和侧面，总的焊缝工作量为L=4πr+Vπr2=2πr+2πr+Vπr2≥334πV，当r=3V2π2时，总的焊缝工作量取最小值334πV.

3.材料最省和焊缝工作量都考虑的最小正圆柱易拉罐设计

假设铝合金的价格为k1元/cm3，假设易拉罐的焊接价格为k2元/cm.那么目标函数需要为

y=[2πrhb+πr2（a+c）]k1+[4πr+Vπr2]k2.

可用导数去求解最优值：

dydr=[2πhb+2πr（a+c）]k1+[4π-2Vπr3]k2

令dydr=0，即π（πhbk1+2πk2）r3+πk1（a+c）r4-Vk2=0，求此方程的非负实数解，就可以得到最优设计.

4.基于黄金分割律的正圆柱体易拉罐设计

黄金分割律又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618.在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB=BCAC，那么称线段AB被点C黄金分割（golden section），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中ACAB≈0.618.

著名的古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西都具有共同的特征，就是部分与部分及部分与整体之间的协调一致.”自从古希腊数学家欧多克索首次发现了“黄金比”后，0.618这一数据便成了“协调一致”公认的美学规律.

考虑易拉罐的美观，易拉罐设计应该满足2rh=0.618，则r=0.309h，易拉罐制作用料体积y=2πrhb+πr2（a+c）=[0.618π+0.3092（a+c）π]h2，此函数为二次函数，在h>0时，y单调自增函数.又有V=πr2h，h=3V0.3092π，则r=30.309Vπ.很显然，实际体积可以不小于V，所以当r=30.309Vπ，h=3V0.3092π时，y取最小值.用V=355带入得到r=3.269，h=10.579，改进后的模型计算结果与实际易拉罐尺寸测量数据比较接近.

图 25.上部分是正圆台和下部分是圆柱体的易拉罐设计

圆柱形易拉罐在开启时用力拉伸容易使易拉罐变形，所以把易拉罐设计成上面部分是正圆台和下面部分圆柱体，从而使其刚性增加.最优为以实际的易拉罐并不是一个圆柱体，把易拉罐设计成上面部分是正圆台和下面部分圆柱体.设圆柱上表面半径为r1，圆柱下底面半径为r2，圆台高为h1，圆柱高为h2，上底厚度为a，圆柱厚度为b、下底厚度为c，圆台厚度为d，易拉罐的容积为V，易拉罐制作用料体积为y，则y=2πr2h1b+πr21a+πr22c+π（r1+r2）h22+（r2-r1）2d，

V=πr22h1+π3（r21+r22+r1r2）h2，

考虑到美观，基于黄金分割律可得

2r2h1+h2=0.618，从而r2=0.309h1+0.309h2.

考虑圆台和圆柱体结合处的粘合性，圆柱台的坡度最优为tanα=h2r2-r1=103[3]，从而得r1=r2-0.3h2=0.309h1+0.009h2.这个数学模型为带有约束条件的最小值问题，求解较为复杂.按照饮料量为355毫升的可乐、雪碧等的易拉罐上底厚度为约在0.034 cm，圆柱厚度约为0.012 cm、下底厚度约为0.040 cm，圆台厚度0.020 cm，可以通过lingo软件求解h1=9.857，从而可以得h2=0.739，r1=3.052，r2=3.274.

6.模型的改进

制作易拉罐的费用除了材料费外，易拉罐的制造过程中焊接接口工作量.那么目标函数需要改进为

y=[2πr2h1b+πr21a+πr22c+π（r1+r2）h22+（r2-r1）2d]k1+[h1+2π（r1+r2）+h22+（r2-r1）2]k2在满足体积、焊接粘合性和黄金分割律约束条件下，所求得最优值，应该会更加合理.另外，易拉罐底部，也不一定是平的.在考虑耐受冲击力的情况下，底部是一个圆凹槽可能会更好，这些都值得我们进一步研究.

【参考文献】

[1]刘彭芝，王珉珠.中学数学课题学习指导[M].北京：中国人民大学出版社，2010：44-48.

[2]郝玉徽.易拉罐形状和尺寸的最优设计模型[J].大学数学，2009，25（2）：147-153.

[3]相秀芬.易拉罐的最优设计方案[J].包装工程，2008，29（1）：94-96.

[4]周文国.易拉罐的设计方案[J].中学数学教学，2002，5（1）：12-13.