对称算子空间上保持Jordan三重零积的映射

毛雁翎

【摘要】对称算子空间上保持Jordan三重零积的映射，假设H是无维复Hilbert空间，此时H中的标准正交基就是ε={eλ/λ∈Λ}，H中有关ε实际上的对称算子就是Sy（H），依据此分析Jordan三重零积的映射.

【关键词】对称算子空间；Jordan；三重零积；映射

算子空间或者算子代数中的非线性或者线性问题就是语句中函数、性质刻画形成的相关关系，以此作为形成不变量映射的基本特征，并且逐渐得到广泛关注.相比较线性映射来说，依据减弱线性来分析保持不变的某种特征情况系的非线性映射或者加映射，本文主要分析了对称算子空间上保持Jordan三重零积的映射.

一、基本概念和符号

假设无维复Hilbert空间是H，H中有界线性算子全体用B（H）表示，x取任意值，x∈H，x形成的子空间用[x]表示，此时H中的标准正交基就是ε={eλ/λ∈Λ}，如果属于H，那么X=∑λ=Λ（x，eλ）eλ，此时就可以说x-=∑λ=Λ（eλ，x）eλ，x，y为任意取值的非零向量，都属于H，可以得到（x，y-）=（y，x-，）假设S，T属于B（H），如果（Teλ，eμ）=（Seλ，eμ）λ，μ∈Λ能够成立，那么就可以说S是T的转置.记为S=TT，如果在H的正交基中具备的ε都可以满足T=TT，那么T就是对称算子，在H上定义共轭线性算子J，存在JX=x-，∈H，那么就可以得到J2=I，I就是Hilbert空间中的恒等算子也就是TT=JT*J.在正交基ε基础上，B（H）的对称算子全体记为Sy（H），可发现所有对称算子都能记为xx-，∈H，并且z（xx-）=（z，x-）x，z∈H.如果τ（α）=α-，那么τ线性映射被称共轭线性，共轭算子A来说，H→H，有关于ε的相应转置AT，也就是说H上存在的共轭线性算子，能够满足（ATeλ，eμ）=（eλ，Aeμ）λ，μ属于Λ，如果X1-X2属于一秩算子，X1，X2∈Sy（H），也就说X1是X2相邻的.二、主要定理和证明

假设A，B∈Sy（H），那么ABAS就是B与A的Jordan三重積，可以容易得到有关Jordan的三重积Sy（H）的运算属于代数结构，如果φ是Sy（H）存在的映射，A，B属于Sy（H），假设存在ABA=0，就能够得到φ（A）φ（B）φ（A）=0，也就说φ是S在Sy（H）上能够保证的Jordan三重零积映射，如果φ（A）φ（B）φ（A）=0，当且仅当ABA=0的时候，φ就是保持双边的Jordan三重零积映射.

定义一：假设A属于Sy（H）是非零算子，并且存在ΩA={B∈Sy（H），ABA=0}，如果任何非零算子N都属于Sy（H），并且ΩAΩZ，以及ΩA=ΩZ，那么此时ΩA是极大的.

引理一：假设X1，X2属于H都是非零向量，ΩAx-1=ΩZx-2，那么X1，X2具备线性相关.

证明：任意取值ξ-属于x1⊥，那么（x1x-1）（ξξ-）（x1x-1）=（x1，ξ-）2x1x-1=0，也就是说ξξ-属于ΩAx-1=ΩZx-2，（x2x-2）（ξξ-）（x2x-2）=（x2，ξ-）2x2x-2=0，又因为x2≠0，所以（x2，ξ-）=0，那么此时ξ-属于x2⊥，因为x1⊥x2⊥，那么就可以得到x2⊥x1⊥，因此，X1，X2存在一定线性相关，证明结束.

引理二：假设A属于Sy（H）是非零算子，那么A就是一秩算子，并且当且仅当ΩA是极大的.

证明：

必要性：假设A=xx-属于Sy（H），并且N属于Sy（H）＼＼{0}，并且ΩAΩZ，y属于x⊥，那么此时yy-属于ΩAΩZ，以便于得到N（yy-）N=0，也*就是说NyN*y-=0，表示N*y-=0或者Ny=0，又由于N*y-=0=JN*y-=JN*Jy=Ny，所以，y属于ker（N），从而得到x-⊥属于ker（N）的子集，因为N不等于0，所以.N属于一秩算子并且N等于λA，其中，λ属于C＼＼（0），又因为ΩAΩZ，所以，ΩA=ΩZ，也就是ΩA是极大的[3].

充分性：假设ΩA是极大的，那么A=AT=JA*J，得到A*=JAJ，因此，A*x-=JAJx-=JAx=Ax.任意取值B属于ΩA，存在ABA=0，x属于H，但是Ax不等于0，则0=（ABAx，x-）=（BAx，x-）=（BAx，Ax），然后得到（AxAx）B（AxAx），此时让A1=AxAx，那么A1BA1=0，由于B属于ΩA1，也就是ΩA是ΩA1的子集，由于A1属于一秩算子，有上面的必要性可以得到，ΩA是极大的，因此，ΩA=ΩAxAx，X1，X2属于H，促使Ax1不等于0，Ax2不等于0，那么ΩAx1Ax=ΩAx2Ax，通过引理一能够发现，AX1，AX2具备线性关系，也就是说A属于一秩算子.

结束语

无维复Hilbert空间，在Sy（H）上φ是可加满射，那么φ双边保持ordan三重零积的映射，并且仅仅只有一个非零常数满足条件.

【参考文献】

[1]黄婷，吉国兴.对称算子空间及自伴算子空间上的三重Jordan映射[J].纺织高校基础科学学报，2010，23（1）：34-38.

[2]刘星星.对称算子空间上保持Jordan三重零积的映射[J].纺织高校基础科学学报，2013，26（1）：79-82.

[3]樊萍.对称算子空间上Jordantriple初等映射的可加性[J].宝鸡文理学院学报（自然科学版），2010，30（4）：1-4.D

[4]安润玲，狄青会，杜雪峰等.自伴算子空间和对称算子空间上保粘切性的映射[J].山西师范大学学报（自然科学版），2011，18（2）：1-5.