凸数列的几个加权和性质的控制证明

石焕南，张鉴，顾春

凸数列的几个加权和性质的控制证明

石焕南，张鉴，顾春

(北京联合大学师范学院基础部，北京100011)

利用受控理论并结合概率方法给出凸数列的几个加权和性质的新证明.

凸数列;加权和;受控;概率方法;不等式

受控理论(Theory of Majorization)，亦称控制不等式理论是不等式研究的有力武器.近些年我国学者在国内外已发表了众多有关该领域的研究论文，例如文献［1－6］，详细的内容请参见文献［7］.

在本文中，Rn和分别表示n维实数集和n维非负整数集，并记R1=R，=Z+.N*表示正整数集.若实数列{ai}(有限的{ai}或无限的{ai})满足条件

其中i=2，3，…，n－1或i≥2，则称{ai}是一个凸数列.若上述不等式反向，则称数列{ai}是一个凹数列.

文献［8－9］利用数学归纳法和Abel变换给出了凸数列的几个有趣的加权和性质，即下述5个定理.本文利用受控理论并结合概率方法给出这些结果的新的证明.

定理1［8］若{ai}是一个凸数列，p∈Z+，则对任意的n∈N*有

定理2［8］若{ai}是一个凸数列，p∈Z+，则对任意的n∈N*有

定理3［9］若{ai}是一个凸数列，则对任意的n∈N*，n≥3有

定理4［9］若{ai}是一个凸数列，则对任意的n∈N*，n≥3有

定理5［9］若{ai}是一个凸数列，则对任意的n∈N*，n≥2有

其中k、m是不小于n的正整数.

1 定义和引理

需要如下定义和引理.

定义1［10－11］设x=(x1，…，xn)和y=(y1，…，yn)满足:

其中x［1］≥…≥x［n］和y［1］≥…≥y［n］是x和y的递减重排，则称x被y所控制，记作x

引理1［10－11］设x=(x1，…，xn)∈Rn，则

引理2［12－13］设n≥2，数列{ai}是凸数列的充要条件为:对于一切p，q∈，若p

引理3［10－11］设x，y∈Rn，x1≥x2≥…≥xn且若存在k，1≤k＜n，使得xi≤yi， i=1，2，…，k，xi≥yi，i=k+1，…，n，则x

引理4［9］对任意n∈N*，有下列等式:

下面用概率方法证明几个组合恒等式.

引理5设p∈Z+，则对任意的n∈N*有

证明考虑随机试验:从自然数1到p+n+1中任取p+1个数，令Ai表示取出的p+1个数的最大数是p+i+1，则

显然诸Ai互不相容，由此即得(15)式.

引理6设p∈Z+，则对任意的n∈N*，及任意不小于n的正整数k、m有

证明考虑随机试验:袋里装有n+k个球，其中m个红球，k个白球.现从中任取n(n≤k，n≤m)个球，令X表示取出的n个球中的白球数，则

若令

则X=X1+…+Xk，而

E(Xi)=P(Xi=1)=P(若第i个白球被取出)=

于是

结合(18)和(20)式即得(17)式.

引理7设p∈Z+，则对任意n∈N*有

证明考虑随机试验:从自然数1到p+n+1中任取p+1个数，随机变量X表示取出的最大数与p+1的差，则

从而有

即

又有

另一方面，据文献［14］，对于整值随机变量X有

结合(24)和(25)式有

(21)式得证.

对(21)式作变换n－i→i，可知

(22)式得证.

2 主要结果的证明

定理1的证明令

由(23)式有

又由(21)式有

再由x和y的结构，易见存在k，1≤k≤m，使得xi≤yi，i=1，2，…，k，xi≥yi，i=k+1，…，m，故据引理3知x

令

由(15)式有

又由(22)式有

再由u和v的结构，易见存在k，1≤k≤m，使得ui≤vi，i=1，2，…，k，ui≥vi，i=k+1，…，m，故据引

理3知u

定理2的证明令

注意

定理3的证明令

再由x和y的结构，易见存在k，1≤k≤m，使得xi≤yi，i=1，2，…，k，xi≥yi，i=k+1，…，m，故据引理3知x

定理4的证明令

令

由引理4有

注意n2≤2n－3n(n+3)，易见存在k，1≤k≤m，使得ui≤vi，i=1，2，…，k，ui≥vi，i=k+1，…，m，故据引理3知u

定理5的证明令

令

由引理7有

再由u和v的结构，易见存在j，1≤j≤s，使得ui≤vi，i=1，2，…，j，ui≥vi，i=j+1，…，s，故据引理3知u

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Majorized Proof of Several Weighted Sum Properties for Convex Sequence

SHI Huannan，ZHANG Jian，GU Chun
(Department of Basic Courses，College of Teacher’s，Beijing Union University，Beijing 100011)

Using the theory of majorization with the probability method，a new proof of several weighted sum properties for convex sequence is given.

convex sequence;weighted sum;majorization;probability method;inequality

O178

A

1001－8395(2016)03－0373－04

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.013

(编辑余毅)

2015－03－31

北京市教育委员会科技计划面上项目(KM201111417006)

石焕南(1948—)，男，教授，主要从事解析不等式的研究，E－mail:sfthuannan@buu.edu.cn

2010 MSC:26B25;26D15