非交换环上的强余挠模

胡晴，王芳贵，熊涛

非交换环上的强余挠模

胡晴，王芳贵*，熊涛

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

设R是任何环，L是R－模.若对任何平坦维数有限的模M，有Ext1R(M，L)=0，则L称为强余挠模.证明(F∞，SC)是余挠理论当且仅当l.FFD(R)＜∞，其中F∞和SC分别表示平坦维数有限的模类和强余挠模类.还证明若w.gl.dim(R)＜∞，则强余挠模是内射模.最后证明每一R－模是强余挠模当且仅当R是左完全环，且l.FFD(R)=0.

余挠模;强余挠模;平坦维数;左完全环;环的弱finitistic维数

1 预备知识

本文恒设R是有单位元的结合环，所有的模均指左模.用fdRL和pdRL分别表示R－模L的平坦维数和投射维数;gl.dim(R)和w.gl.dim(R)分别表示环R的整体维数和弱整体维数.

D.K.Harrison［1］为了刻画非有限的Abelian群的结构性质，引入了余挠模的概念.R－模C称为余挠模，是指对一切平坦模F，都有Ext1R(F，C)=0.其后E.E.Enochs［2］对余挠模的刻画做了大量的研究工作.J.Z.Xu［3］系统地讨论了余挠模的相关性质，证明了平坦模类F与余挠模类C二者构成了余挠理论，还证明了每个R－模是余挠模当且仅当环R是左完全环.L.Bican等［4］解决了平坦盖的猜测，即证明了对任何环R，每一R－模都有平坦盖;等价于说，每一R－模都有余挠包.

余挠模的研究按照平坦维数在进一步发展.S.B.Lee［5］引入弱内射模来刻画几乎完全整环.R－模W称为弱内射模，是指对任何平坦维数不超过1的模M，都有Ext1R(M，W)=0.交换环R称为几乎完全环，是指R的任何真商环都是完全环［6］.借助于弱内射模，文献［7－9］证明了整环R是几乎完全整环，当且仅当平坦维数不超过1的模的投射维数也不超过1;当且仅当可除模是弱内射模.

E.E.Enochs等［10］按照余挠模的研究思路考察了更一般的情形，他们称之为n－余挠模.不过n－余挠模的不同的定义在文献［11］已经出现，熊涛［12］遵循S.B.Lee［5］的思路，把Enochs意义下的n－余挠模称为Ln－内射模.R－模L称为Ln－内射模，是指对任何平坦维数不超过n的模M，都有Ex(M，L)=0.

在这些研究的基础上，讨论文献［3］引入的强余挠模.R－模L称为强余挠模，是指对任何平坦维数有限的模M，都有Ext1R(M，L)=0.D.Bennis等［13］证明了若R是交换环，则每一R－模是强余挠模当且仅当R是完全环.H.Y.Yan［14］在一般的非交换环上也讨论了强余挠模的性质.本文借助环的弱finitistic维数来刻画强余挠模的相关性质.

2 强余挠模的基本性质

定义2.1［3］设L是R－模.若对任何平坦维数有限的模M有

Ext1R(M，L)=0，则L称为强余挠模.

例2.21)显然，内射模是强余挠模;

2)对任何n≥0，强余挠模是Ln－内射模.因此，强余挠模是弱内射模(自然也余挠模).

命题2.3对任何R－模L，以下等价:

1)L是强余挠模;

3)形如0→L→B→C→0的正合列是分裂的，其中fdRC＜∞;

4)若0→A→B→C→0是正合列，其中fdRC＜∞，则

0→HomR(C，L)→HomR(B，L)→HomR(A，L)→0也是正合列.

证明1)⇒2)设0→A→P→M→0是正合列，其中P是投射模.于是对任何k≥1有

ExtkR(A，L)≌Extk+1R(M，L).

注意fdRA＜∞.于是断言由对k使用归纳法即证.

2)⇒1)显然.

1)⇔3)由文献［15］的推论7.20即知.

1)⇒4)由Ext1R(C，L)=0即得.

4)⇒1)考虑正合列0→A→P→C→0，其中P是投射模.于是

是正合列.由假设得到正合列

0→Ext1R(C，L)→0，

因此有Ext1R(C，L)=0，即L是强余挠模.

命题2.4设0→A→B→C→0是正合列.若A是强余挠模，则B是强余挠模当且仅当C是强余挠模.

证明设M是R－模，fdRM＜∞，由正合列

并引用命题2.3的2)即得.

命题2.5设{Li}是一簇R－模，则∏iLi是强余挠模当且仅当每一Li是强余挠模.

证明设M是R－模，fdRM＜∞.由同构关系即得所证.

下面给出强余挠模是内射模的一个充分条件.

定理2.6设L是强余挠模.若fdRL＜∞，且fdRE(L)＜∞，其中E(L)是模L的内射包，则L是内射模.

证明考虑正合列0→L→E(L)→C→0，由条件有fdRC＜∞.由命题2.3，此正合列分裂，因此有L是内射模.

因此，可以得到如下推论:

推论2.7若w.gl.dim(R)＜∞，则每一强余挠模是内射模.

在文献［16］中定义了模的余挠维数和环的整体余挠维数(cot.D(R)).相应地，在文献［13］中也定义了模的强余挠维数和环的整体强余挠维数S.cot.D(R).由于w.gl.dim(R)＜∞时强余挠模就是内射模，故得到下面的结果.

推论2.8［16］若w.gl.dim(R)＜∞，则

gl.dim(R)=S.cot.D(R).

回顾环R称为左IF环，是指每一内射R－模是平坦模［17］.由定理2.6，可以得到以下推论.

推论2.9若R是左IF环，L是强余挠模，且fdRL＜∞，则L是内射模.

3 模类F∞与模类SC

设(A，B)是一个模类对.记

A⊥={B∈RM|对任何A∈A，Ex(A，B)=0}，以及

⊥B={A∈RM|对任何B∈B，Ex(A，B)=0}.若A=⊥B，且B=A⊥，则(A，B)称为一个余挠对或一个余挠理论.J.Z.Xu［3］证明了平坦模类与余挠模类(F，C)构成了余挠理论.S.B.Lee［5］证明了平坦维数不超过1的模类与弱内射模类(F1，WI)构成了余挠理论.更一般地，用Fn表示平坦维数不超过n的模类，Ln表示Ln－内射模类，熊涛［12］证明了(Fn，Ln)构成了余挠理论.用F∞表示平坦维数有限的模类，SC表示强余挠模类.由定义2.1知SC= F∞

⊥，F∞⊆⊥SC.下面证明一般地有(F∞，SC)不构成余挠理论.

命题3.1

证明第一个等式是显然的，第二个等式在文献［10］中已经指出.

定义3.2［18］环R的弱finitistic维数定义为

命题3.3若l.FFD(R)=∞，则存在R－模M，使得fdRM=∞，但对任何L∈SC有

证明由条件l.FFD(R)=∞，有对任何正整数n，存在R－模Mn，使得fdRMn=n.令

则

由于对任何L∈SC，有Ext1R(Mn，L)=0，因此有

推论3.4若l.FFD(R)=∞，则(F∞，SC)不构成余挠理论.

引理3.5设R为环，F∞=⊥SC当且仅当F∞在直和下封闭.

证明参见文献［14］的命题2.14.

文献［14］证明了(F∞，SC)构成余挠理论当且仅当F∞在直和下封闭.也可以用弱finitistic维数给出(F∞，SC)何时构成余挠理论的刻画.为此，需要下面的引理.

引理3.6设n是自然数，M和L是R－模，则:

1)M∈Fn当且仅当对任何

2)L∈Ln当且仅当对任何证明参见文献［12］.

定理3.7对环R，以下各条等价:

1)l.FFD(R)＜∞;

2)存在自然数n，使得Fn=F∞;

3)存在自然数n，使得Ln=SC;

4)存在自然数n，使得每一Ln－内射模是强余挠模;

5)(F∞，SC)构成余挠理论.

证明1)⇒2)设l.FFD(R)=n，则当fdRM＜∞时，就有fdRM≤n.由此得到Fn=F∞.

2)⇒3)显然，这是因为

3)⇒4)这是平凡的.

4)⇒1)设M是R－模，fdRM＜∞，则对任何L∈Ln，由条件，L是强余挠模，故由引理3.6，fdRM≤n.于是有l.FFD(R)≤n＜∞.

2)+3)⇒5)由文献［12］，(Fn，Ln)构成余挠理论.

5)⇒1)由推论3.4可知.

对定理3.7的证明作适当变更，容易得以下定理.

定理3.8设n是自然数，对环R，以下各条等价:

1)l.FFD(R)≤n;

2)Fn=F∞;

3)Ln=SC;

4)每一Ln－内射模是强余挠模.

推论3.9每一余挠模是强余挠模当且仅当l.FFD(R)=0.

推论3.10每一R－模是强余挠模当且仅当R是左完全环，且l.FFD(R)=0.

证明若每一R－模是强余挠模，则每一R－模是余挠模.由文献［3］的命题3.3.1，R是左完全环.由推论3.9，l.FFD(R)=0.

反之，设R是左完全环，且l.FFD(R)=0.设C是任何R－模，M是R－模，fdRM＜∞.由于

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Strongly Cotorsion Modules over Non-commutative Rings

HU Qing，WANG Fanggui，XIONG Tao
(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be a ring and L an R-module.If Ext1R(M，L)=0 for all R-module M with finite flat dimension，then L is called strongly cotorsion.In this paper，it is shown that(F∞，SC)is a cotorsion theory if and only if l.FFD(R)＜∞，where F∞and SC denote respectively the class of modules with finite flat dimension and the class of strongly cotorsion modules.It is also shown that if w.gl.dim (R)＜∞，then all strongly cotorsion modules are injective.It is finally proved that every R-module is strongly cotorsion if and only if R is left perfect with l.FFD(R)=0.

cotorsion module;strongly cotorsion module;flat dimension;left perfect ring;weak finitistic dimension of a ring

O154

A

1001－8395(2016)03－0314－04

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.002

(编辑陶志宁)

2014－08－30

国家自然科学基金(11171240)和教育部博士点专项科研基金(20125134110002)

*通信作者简介:王芳贵(1955—)，男，教授，主要从事交换代数、同调代数与代数K－理论的研究，E－mail:wangfg2004@163.com

2010 MSC:16D50;16E10;16E30