泛函积分方法与三带Hubbard模型中反铁磁激发谱的计算

田红金，颜骏，杨晓焕，陈海霖

泛函积分方法与三带Hubbard模型中反铁磁激发谱的计算

田红金，颜骏*，杨晓焕，陈海霖

(四川师范大学物理与电子工程学院，四川成都610066)

根据泛函积分方法推导三带Hubbard模型中的自由Green函数.由矩阵形式的Dyson－Grokov方程得到正常与反常Green函数;这些Green函数可以描述反铁磁态和超导态的物理性质.在长波近似下计算反铁磁序矢量共存于铜氧格点时的激发谱，还讨论反铁磁序矢量对能谱的影响.

泛函积分;温度Green函数;三带Hubbard模型;反铁磁激发谱

泛函积分方法是研究量子场论和统计物理中各种激发现象的强有力的数学工具，这一方法已广泛应用于不同种超导模型中的集体激发的计算，例如，BCS模型、Boson－Fermion模型、Hubbard模型和T－J模型等［1－8］.这一方法依赖于微扰展开技术，并且非常适合于弱耦合Sine－Gordon－Thirring模型中热力学量的计算［9］.然而对于强耦合模型还缺乏精确的数学方法和泛函积分的正确定义.在前面的工作中将泛函积分和变分累积展开相组合建立了一种新的非微扰方法［10－11］，在强耦合和弱耦合Sine－Gordon－Thirring模型中的自由能和统计平均值都可以根据这一新方法来计算［10，12］.

另外，采用微扰和非微扰泛函积分方法可以研究Sine－Gordon－Thirring模型中弱耦合和强耦合区间的相结构，结果表明杂质密度和费米凝聚密度可以形成稳定的相结构［13］.另一方面，L.D.Faddeev和V.E.Korepin［14］提出了一种计算孤子质量和散射矩阵的重要方法.这一技术是建立在泛函积分的稳定相方法的基础上，他们在半经典近似下计算了孤子质量和散射矩阵的单圈修正.Faddeev－Korepin方法和变分泛函积分方法具有类似的数学结构，因此这2种方法都可以应用于Sine－Gordon孤子的量子统计物理性质的研究.

对于高温超导体，三带Hubbard模型比简单的单带Hubbard模型更具有现实的物理意义.K.Malyshev等［15－16］证明了反铁磁态和超导态可以共存于三带模型之中，他们解释了处于小掺杂参量的反铁磁态可以转化为大掺杂参量的超导态.当温度Green函数方法应用于简单的二维排斥Hubbard模型中，那么同样可以证明当掺杂参量增大时，反铁磁态将产生对称性破缺.V.N.Popov［17］提出了一种描述晶格上反铁磁与铁磁态的反常Green函数方法，他们应用Dyson－Gorkov方程求解了Hartree近似下的温度Green函数.

P.E.Brusov等［5］发展了高温超导d波配对模型中的二维泛函积分方法，并计算了模型中的各种集体激发效应.本文将在Popov泛函积分方法的框架下计算三带Hubbard模型中铜氧反铁磁序共存时的激发谱，并进一步分析和讨论反铁磁序对能谱产生的各种影响.

1 泛函积分与三带Hubbard模型中的作用Green函数

在单带Hubbard模型中允许配对超导态的存在，但这种简单模型只能看作是高温超导体的玩具模型，而三带Hubbard模型比单带模型更具有现实的物理意义.三带模型中考虑了氧的2px和2py轨道和铜的3dx2－y2轨道之间的杂化，CuO2层可近似看作二维正方晶格，则三带Hubbard模型中的哈密顿量［16］为

式中

式中

是Grassmann费米场，Ψs(p)是共轭矩阵.动量p= (k，ω)，ω=2πT/(n+1/2)是费米频率.U1=Ud，U2= U3=Up，Ti(k)=ti(1+eiki)，i=1，2，珔Ti(k)=ti(1+e－iki)是Ti(k)的复共轭，总的态数是3N.在动量空间中的配分函数可表示为

式中积分测度为

自由Green函数可以由如下的泛函积分导出

结果为

式中

费米能谱可由方程M(p)=0得到，它包含3条未微扰的能带.作变换iω→E后，未微扰能谱可由方程M(p)=0得出，它包括3个分支:

为了描述三带模型中的正常态，可利用如下Dyson－Gorkov方程

式中

自能满足的方程为

(15)式中没有对下标α求和.将逆矩阵(12)式代入(15)式可以得到如下方程组

式中

这里s=↑或↓是自旋指标，s'是s的反指标，如果s =↑，则s'=↓，反之亦然.方程组(16)～(18)包含了关于变量x↑、x↓、y1↑、y1↓y2↑、y2↓的6个方程，其中3个是关于自旋向上的方程，3个是关于自旋向下的方程，它们分别是铜格点和氧格点上的重整化化学势.在正常态中xs、y1s、y2s的值与自旋s无关，(16)式中只有3个独立方程.当

则方程组(16)～(18)的解设为xs=x;y1s=y2s=y，并且只有2个独立方程.这时能谱方程为

由此方程可得到三带Hubbard模型的能谱为

2 半满状态和低于半满状态系统的解

在铜氧晶格中平均每个晶格上总费米子数为3，则N个晶格对应的状态数为6N.下面根据系统方程组的解来说明三带模型中存在半满状态.首先证明方程组(16)～(18)存在一组零解xs=y1s=y2s= 0，满足这组解的条件为

如果xs=y1s=y2s=0，则方程(16)变为

再令

则

所以方程(24)成立.同时方程(17)变为

当|T1(k)|《|T2(k)|时，式中第二项为

所以

由于方程(17)和(18)的形式一致，所以这2个方程也完全成立，那么由零解xs=y1s=y2s=0可将能谱(22)式简化为

这时模型中的费米子平均数应为

式中参量ε→0+，〈〉它刚好对应于总态数6N的一半，所以三带Hubbard模型中存在这种半满态.这种半满态具有一定对称性，但是对于强关联系统，由于同位排斥作用费米子很难由一种自旋态跃迁到另一个自旋态，因此这种半满态不太适合描述高温超导的导电性质，所以用低于半满状态的能带描述高温超导体现象更合理，因为这时的费米子跃迁过程更容易实现.下面证明模型中确实存在这种低于半满的状态，这时假设一种新的约束条件

那么方程组(16)～(18)具有另外一组解

如果xs=y1s=y2s=－2t，则方程(16)变为

(iω－2t)(|T1(k)|2+|T2(k)|2)］}.(35)令ε+=2t+a+(k)，ε－=2t+a－(k)，当Ud/4》2t并且温度T《2t时，则有

所以方程(16)可以成立.同理方程(17)变为

当Up/8》2t时，(37)式中第二项为

所以

而方程(18)与(17)形式上一致，所以当新的约束条件(33)式满足时，这2个方程也完全成立.这时系统方程组的解xs=y1s=y2s=－2t可将能谱表示为

此时总费米子数等于

式中，当T《2t时，可将(eβE0+1)－1与(eβE+(k)+1)－1忽略，仅保留最后一项，这是E－(k)能级对应的总粒子数为N，这是一种低于半满状态，所以，用一种Green函数方法解释了三带Hubbard模型中可能存在半满态和低于半满的状态.

3 Dyson－Grokov方程与反常Green函数

在反铁磁状态中的正常Green函数定义为

同时反常Green函数定义为

式中p=(ω，k+π)，反铁磁状态可通过非零的Nell序参量来描述.在Hubbard模型中存在不同类型的反铁磁秩序，例如Nell序参量可以存在于铜格点上也可以处于氧格点上，对应的反铁磁平均值可以通过反常Green函数来计算.

下面引入如下六维矩阵Green函数

式中，Gs(p)和Gas(p)是正常和反常Green函数，G0s(p)是自由Green函数.自能部分对应的矩阵设为

矩阵Dyson－Grokov方程具有如下形式

这里对自能部分取Hartree近似，即As(p)、Bs(p)取为常数矩阵，它们与p、s无关，所以有

令δd=δ，δp1=δp，δp2=0，Πi=Ti(k+π)，这表示序参量存在于铜格点和一个氧格点上，另一个氧格点上序参量为零.由Dyson－Grokov方程(47)可以得到如下的正常Green函数

式中

式中符号定义为

Green函数(50)式中的行列式为

由Dyson－Grokov方程(47)可得到反常Green函数

式中

下面将根据正常与反常Green函数矩阵中的行列式来研究模型的激发谱.

4 铜氧格点上反铁磁序共存时激发谱的计算

当行列式Det Λ1=Det Λ2=Det Λ3=0时，可得到如下激发谱方程组

现在作代换iω→E，并假设t=t1=t2，xs=y1s=y2s=－2t，δ=0，k1=k2→0，则能谱方程(79)～(81)有如下解

这些在长波近似下的解是简并的，描写Nell序参量只存在于一个氧格点上时的费米激发.当δ≠0，δp≠0，则能谱方程(79)～(81)有如下普遍解

这些长波近似解也是简并的，描写了Nell序参量同时存在于铜氧格点上时的费米激发.下面分析跃迁振幅固定时序参量变化对能谱产生的影响.取t=0.50 eV，δp=1 eV，由(83)式中的第二个能谱公式可以作出如下激发能随δ变化的3种数值图形.其中，E++、E+－、E－－分别对应(83)式中各种±号的取值.

由图1可以看出，当δ＞δp=1 eV时，E++与δ近似成线性关系，随着铜格位上Nell序参量增大，费米激发能逐渐增强.由图2看出，当5 eV＞δ＞δp=1 eV时，随着铜格位上Nell序参量增大，费米激发能E+－迅速增强，当δ达到一定值时，费米激发能近似不变.由图3可以看出，当15 eV＞δ＞δp=1 eV时，费米激发能随δ的增大而迅速减弱，当δ很大时，费米激发能趋于零.当t=－0.5 eV，δp=1 eV，可作出费米激发能的如图4所示.

由图4可以看出，当δ＞δp=1 eV时，珔E++与δ近似成线性关系，随着铜格点上的Nell序参量增大，费米激发能也增强，和图1对比E++和珔E++的变化规律相似，并且珔E++＜E++，所以这时t＜0的费米激发能更小.

三带Hubbard模型的求解是一个比较复杂的问题，要获得模型中能谱的解析解是非常困难的.本文首先根据泛函积分方法推导了模型的自由Green函数，在此基础上并结合Dyson－Gorkov方程研究了反铁磁激发谱的性质.本文首次获得了反铁磁序矢量同时存在于铜氧格点时的激发谱.K.Malyshev等［15－16］曾研究过同一问题中的反铁磁激发性质，但他们的工作仅考虑了铜格点上存在反铁磁序矢量的特殊情况，因此本文的研究结果更具有普遍性.另外，本文还仔细分析了氧格点上反铁磁序矢量不变时，铜格点上反铁磁序变化时对能谱产生的影响.而K.Malyshev等［15－16］的研究工作并没有仔细分析2种铁磁序共存时反铁磁激发谱的变化性质.

泛函积分方法还得到了BEC和He3中的物理实验的具体验证.V.N.Popov［17－18］根据泛函积分中的超动力学方法计算了有限温度下重整化能谱，结果不仅消除了Green函数的红外奇点，而且理论计算的激发谱和BEC实验中的观测数据较好地吻合［19］.P.N.Brusov等［20］根据泛函积分方法计算了He3超流中A相的clapping激发频率，其理论值和实验观测频率只有约2%的误差，而普通动力学方程理论的计算误差却超过6%，这些研究结果表明泛函积分方法具有较高的计算精确度.V.S.Yarunin［21］根据约束系统泛函积分方法重新研究了He4超流中的能谱，通过引入玻色凝聚和δ函数对应的温度谱参量，推导了有效作用量及其相结构方程组，在此基础上得到了He4超流中的声子谱和旋子谱，较好地解释了超流实验观测到的能谱曲线，这正是泛函积分方法在求模型中能谱的解析解方面的另一个显著优点.

5 结论与讨论

本文根据量子统计场论中的泛函积分方法研究了三带Hubbard模型中的反铁磁激发谱，通过Dyson－Grokov方程的解证明了模型中可能存在半满或低于半满的状态，而后一种状态可以描写高温超导现象，同时计算了铜氧格点上反铁磁序共存时费米激发能的变化情况.分别讨论了跃迁能t＞0和t＜0时，铜格点上序参量固定的情况下，费米激发能随氧格点上序参量变化的规律.结果发现当t＞0时激发能的变化有3种情况:即激发能单调增加;迅速增加而趋于固定;单调减小而逐渐趋于零.当t＜0时，费米激发能的变化情况与t＞0中的第一种情况类似，只不过激发能更小.

目前中子衍射实验已证实掺杂前的母体化合物是反铁磁绝缘体.在固体物理中，磁性是组成晶体中原子电子组态及原子磁矩的综合体现.在反铁磁体中，相邻近的磁矩反平行排列，并且相反的磁矩正好抵消.高温氧化物可看作准二维强关联体系，当考虑同一格点附近自旋相反电子(空穴)的库仑同位关联后，Hubbard模型可以描写这一体系的反铁磁和绝缘性质.

一般铜氧化物的结构比较复杂，但其晶体结构中均含有多个CuO2平面层.可看作一种准二维晶体，在CuO2平面中载流子运动起主要作用，而其余部分可简化为一种等效的电荷库存.如果掺杂使电荷库中电子减少，那么CuO2导电层中将出现空穴，反之，如果掺杂使电荷库中增加电子，那么CuO2导电层将出现电子载流子，这是掺杂后化合物仍保持电中性的一个推论.

在掺杂的过程当中，除了使氧的电子增加或减少之外，也有可能使铜的电子数目减少.以LaCoO3为例，LaCoO3是很好的绝缘体，因为+3价Co离子只有6个3d电子，它们和氧的2p电子杂化后，只能填充在成键轨道:价带，而导带内没有电子.当用Sr+2部分地取代La+3离子后，La1－xSrxCoO3变成很好的导体，这是由于产生了电荷转移，使参与轨道杂化的Co的3d电子的数目减少，造成了价带顶部出现了空穴，而提高了它的电导率.

当然，本文的研究结果可以继续推广研究三带Hubbard模型的高温超导性质，目前还有文献在继续深入研究Hubbard模型中的各种物理性质［22－28］.近30年泛函积分方法已广泛应用于凝聚态物理的研究之中，如磁性杂质问题、普通超导体的物理性质、强关联电子系统中T－J模型的有效哈密顿量推导、单杂质Anderson模型中磁化率和有效磁矩的计算、高温超导体中反铁磁自旋涨落的计算、BEC中的空间分布、高温超导体和小铁磁团簇中自旋涨落的研究、巡游电子的反铁磁性质等［29－39］.最近几年泛函积分方法还被应用于研究Sine－Gordon－Thirring模型的强耦合性质和相结构，并推广至黑洞外费米物质能量密度涨落的计算［40－43］，所以除了高温超导和其他凝聚态物理之外，泛函积分方法还具备了更广泛的物理用途.

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Functional Integrals Method and Calculation of the Antiferromagnetic
Excitation Spectrum in the Three-band Hubbard Model

TIAN Hongjin，YAN Jun，YANG Xiaohuan，CHEN Hailin
(College of Physics and Electronic Engineering，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

In this paper，the free Green’s function of three-band Hubbard model was derived according to the functional integral methods.We obtained the normal and abnormal Green’s function by the matrix form of Dyson-Grokov equations.The Green’s function can describe the physical properties of antiferromagnetic state and the superconducting state.In the long wave approximation，the excitation spectrum was calculated when the antiferromagnetic order vector co-existed in copper and oxygen lattices.Moreover，the influence of antiferromagnetic order vector on the energy spectrum was also discussed.

functional integral;temperature Green’s function;three-band Hubbard model;antiferromagnetic excitation spectrum

O412;O469

A

1001－8395(2016)03－0388－10

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.016

(编辑李德华)

2014－11－15

四川省教育厅自然科学重点基金(11ZA100)

*通信作者简介:颜骏(1965—)，男，教授，主要从事量子场论和引力理论的研究，E－mail:yanjun5@sina.com