空间向量在立体几何中的应用

贺新禄

【摘要】立体几何在高中数学中的地位是举足轻重的，几何图形能够锻炼学生的空间思维能力以及逻辑推理能力，面对几何传统的处理方式就是”以形到形“的办法，这个方法对学生的空间想象能力提出了一定的要求，具有一定的难度，由于向量的引入，给立体几何带来了新的阳光，降低了几何的难度，让学生面对几何辅助线时不再一筹莫展。

【关键词】空间向量 立体几何 应用

【中图分类号】G633.63 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）04-0130-02

引言：在高中数学中，向量既有代数的抽象也有几何的直观，其中的“数”与“行”完美结合的特点使得我们可以运用向量解决立体几何中某些复杂的问题。正因为有向量的知识，解决立体几何一类的问题的时候就可以弥补部分同学在空间想象能力不足的缺陷，这在一定程度上降低了立体几何的做题难度。

一、向量在立体几何中的作用

空间向量是高中数学教材中后来添加的新内容，它的功效就在于能够取代之前在传统教材中的地位，从目前的效果可以看出，它的作用是多方面的，主要涉及到垂直问题，角度问题，以及法向量之间的计算应用问题等。

1.空间向量的作用

（1）证明垂直，面对线面垂直以及面面垂直的问题的时候，在算出法向量的基础上，通过证明直线平行于法向量即可得出结论；还有想要证明面面垂直的结论，证明出两平面的法向量是垂直的，即可得出最终的结论。

（2）计算角度，求二面角的精髓就在于转换两个法向量之间的角度来计算；立体几何中的平行问题是通过向量的基本定理进行验证的。

2.平面法向量

（1）法向量，指的是与已知平面垂直的向量值，这个是可以根据坐标位置的确定有多个的，就我们使用的经验来讲一般是选择最为方便的那个来操作的。

（2）法向量的计算，根据一般情况建立适当的平面直角坐标轴，假设所知平面的法向量为m（a，b，c），在所在平面内找到两个相交的直线S，T，同时运用法向量来定义他们。因为法向量垂直于所在平面，所以必定也垂直S，T，利用垂直向量点乘为零列出方程组。由于有三个未知数a，b，c，通常是假设其中一个是较特殊的值，再求出另外两个的值。

二、向量在立体几何中的实际运用

空间向量作为新鲜血液，解决几何问题时更具优势，解题者思维能清晰明了。这样的方法不仅节省时间还能够简单地解决问题。

1.立体几何的证明和计算问题

主要分成二大板块：位置问题和度量问题。位置问题就是线线，线面之间的关系等；度量关系就是线线之间，线面之间的角度问题。

（1）证明问题

1）假设在一个空间里有任意的一点O点，以及和O点不共线的E，F，G三点，假如：（其中x+y+z=1），则四点M，E，F，G共面。

2）使用向量的代数运算证明M//N，M⊥N，运用向量的方法求出直线之间的夹角，实质就是两条直线之间的向量运算问题，通过基本定理来得出结论。

3）求出需要证明线面垂直的有效法向量即可得出有效结论；同理可知，如果想要证明面与面之间的垂直，只需要证明所知的两个平面的法向量垂直即可。

（2）平面法向量的计算问题

法向量是向量运算中最基本，也是最关键的单位元素，一般而言，需要权衡是否简便地求出已知数据的向量值，然后再采用一系列类似坐标轴的方法展开计算。1）计算出基本的法向量之后，需要求出已知直线与所在平面之间的夹角，关键就在于求出直线和法向量之间的夹角；如要求二面角大小，只需求出两个平面的法向量所成的角。例：二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这二面角的两个平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=二倍根号17，求二面角的大小？ 解：因为AC⊥AB，BD⊥AB，AB=4，AC=6，BD=8，CD=2√17， 过A作AE//BD，使AE=BD，连接CE，DE，所以AB⊥面ACE，∠CAE就是二面角的平面角，为CE=√（CD^2-DE^2）=√（68-16）=2√13 ，由余弦定理cos∠CAE=（AC^2+AE^2-CE^2）/（2AC·AE）=（36+64-52）/（2×6×8）=1/2，利用余弦定理计算出二面角60°。

2）计算线与面的关系，关键就在于建立合适的坐标系。要想正确设置已知点的坐标，首先尽量找到垂直与所在面的向量；假如找不到的话，那么就设n=（m，n，k）然后根据计算方便，取k（或m或n）等于一个数，然后就求出面的一个法向量；求点到平面的距离就是求出该面的法向量，然后在平面上任取一点，求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1，点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求。

三、向量在立体几何中应用的教学反思

利用向量法的主要方式有：（1）代数式（2）坐标式。一般来讲，坐标式运算便于学习；当然我们也可以运用代数式来解决问题，但是代数式的要求比较高，更具备高技巧。坐标式更具实用性，简要介绍一下解题步骤：

（1）坐标式向量法的解题步骤；

首先建合适的坐标轴，基本要求就是需要使用经过同一点的两两垂直的三条直线，从右边开始建坐标系，坐标和坐标系的方向记得要严格保持一致。其次，仔细标记坐标点，准确标记需要的点的坐标。再接着写出所需要的向量坐标，必须要终始点的坐标。然后按照熟记的计算公式计算问题得出结论，并且仔细检查。

（2）向量法能解决立体几何的所有问题吗？

答案当然是否定的，在数学的世界里面，只有最合适的解决办法，没有绝对万能的解决方案解决所有问题，我们要做到“择优而选”，由此分成三步：

第一步，如果此步运用传统的“以形到形”的方法更加简单，那就不用考虑空间向量的办法。

第二步，当使用传统的办法遇到问题的时候，看到当时的图形又可以并且方便使用空间直角坐标系的话就可以考虑使用空间向量的办法解决问题。

第三步，运用综合法解决有困难，而图形又不容易建立空间直角坐标系，那也可以用空间向量的代数式运算来解决问题，不过这个方法对于大部分的学生而言难度不亚于综合法。

四、结束语

作为现代数学中的新鲜知识之一的空间向量法已经慢慢渗透到立体几何的解题中了，成为立体几何中不可或缺的重要工具之一。

参考文献：

[1]刘八枝.向量在中学数学教学中的应用[J].镇江高专学报：2003 年第二期.

[2]孙晓雄.向量在立体几何中的应用[J].考试周刊，2008年第六期.

[3]李雪霞.空间向量在立体几何中的应用[J].高中数学教与学，2002年第二期.