基于全国高考改革的立体几何备考复习教学建议

林晴岚+陈柳娟+王逸勤+张洁

摘 要：全国高考立体几何专题备考复习教学在认真研读《考试大纲》、《考试说明》的基础上，把握好考试内容要求的变化，找准复习备考的方向、重点，构建立体几何概念、定理模型网络，整合所学立体几何的核心知识点，借助对高考真题考点分布、试题特点分析研究，从中挖掘、提炼蕴涵在解决立体几何问题中的数学思想方法，有针对性地做好备考准备工作，提高高考备考立体几何专题复习效果.

关键词：立体几何；三视图；垂直；考点分布；特点

在高考改革下的立体几何专题备考复习，教师以《考试大纲》、《考试说明》的内容要求、能力要求为备考复习指导方向.从2011-2016年的全国卷Ⅰ中，找出试卷考点的分布规律、试题的命制风格与特点；再从内容要求的主要变化，实测试题的主要特点，典型试题赏析进行备考复习教学.重视在立体几何问题中渗透数学文化，引导学生理解数学家的崇高品质以及探究解决数学问题的过程，让学生感受数学问题中的数学文化价值和科学价值，形成正确的数学观.

1 研读《考试大纲》和《考试说明》中对立体几何考试内容要求

研读全国高考数学学科的《考试说明》与《考试大纲》，有利于教师在高考备考复习教学时找准复习的方向、重点，把握好考试内容要求的变化；在备考复习教学过程中，明确哪些内容该重点讲？哪些内容需要进行拓展？有利于老师理解备考复习案例选取对掌握考试方向的重要性；有利于教师在备考复习时更透彻研究全国卷中立体几何真题特点，其中立体几何初步是文、理科相同考点部分，空间向量与立体几何是理科必考部分，强调用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，注重考生用向量方法研究立体几何问题的能力，以及用向量语言表达立体几何问题的数学思维方式.但文科试题不涉及利用空间向量解决立体几何问题.

2 高考真题的主要特点

纵观全国卷近6年的试题，其特点、风格，研究这些试题的考点分布、试题结构、试题特点，有助于高考备考调整复习的方向，提高复习备考效率.

（1）考点分布

2011年——2016年全国课标Ⅰ卷中立体几何考点分布统计表，见表1.

观上表1可得到：全国1卷的选择题、填空题经常涉及旋转体、球的表面积和体积、三视图，解答题中的第一小题以考查线线、线面的垂直问题为主.

（2）题型结构

全国Ⅰ卷经常是1道选择题、1道填空题、1道解答题，共3道题，分值22分，占全卷分值约15%；

（3）试题特点

全国1卷在立体几何专题的考查中，选择题以三视图问题为重点，填空题与解答题以对空间的线面平行、垂直关系，空间几何体的相关角的问题为重点，全国1卷常在试题的已知条件中出现“直棱柱、正棱柱、正棱锥”等概念；在几何体的呈现方面比较常用组合体，常设计成柱体、锥体内接于球，再进一步求解球的表面积或体积；三视图的考查对空间想象能力的要求较高，求解时要先还原几何体的直观图，再对几何体进行有关长度、面积、体积等的度量计算；从解答题看，全国Ⅰ卷的题目兼顾传统综合法与向量法的考查，突出几何直观和基本能力的考查.在基础考查方面，文理科都是依托常见的柱、锥几何体，考查用判定和性质定理证明线线、线面和面面垂直；在差异方面，理科用“向量法”求线面角、二面角，文科求几何体的表面积、体积等，试题显得比较“干净”，基本上是设计“两问”，且设问比较直接，专注于空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力的考查.

3 高考备考建议

3.1 重视视图教学研究，强化空间观念

一个几何体的三视图，能够反映这几何体的真实面貌，根据三视图还原几何体的直观图近6年试题统计都是全国卷考查的重点、热点问题.所以，在复习过程中，要给学生如何将三视图还原几何体的直观图的构图方法，即首先要弄清三视图的成图原理，接着借助长方体，把三视图般到长方体的三个侧面上，通过整体观察，确定其中的关键点或棱，再进行对比联想、轮廓削减，得到几何体的真貌，最后再将探知的直观图与三视图对比观图，确保准确无误.

3.2 针对解答试题特点，突破“垂直”是关键

立体几何中的垂直即“⊥”包括：a⊥b、a⊥β、α⊥β，其中最基本的是a⊥b，最体现空间特征的是a⊥β，从高考真题分析研究垂直“⊥”是立体几何问题解决的一个难点也是关键点.所以，通过复习教学，要理清楚如下三个与垂直有关的问题：

①“垂直”是知识体系的核心如图1、图2所示

通过对两幅知识结构图的分析可知：垂直“⊥”是立体几何问题解决的重要工具，如异面直线的距离，空间的线线关系、线面关系、面面所成角等都与垂直相联系；垂直“⊥”是各类计算公式（面积、体积、角、距离）的必要构成要素；空间的线线、线面、面面平行关系可由垂直转化得到.

②“垂直”是高考试题的灵魂

课标课程的立体几何内容包括两个体系，一个是传统的综合几何体系，另一个是空间向量的体系.全国卷近6年的解答题为兼顾两个体系的考查，往往在第一步有意设计有垂直条件或垂直结论的问题，以便为第二步建立空间坐标系，利用空间向量求解空间角等问题做铺垫.

③“垂直”是问题解决的突破口

通过对立体几何试题的试题特点分析可知，垂直“⊥”条件往往是问题解决的关键“题眼”.解题时，若发现题目有多个已知条件，可优先考虑垂直条件；需作辅助线时，优先选择作垂线或垂面；面对转化条件关系时，优先选择用垂直关系来促进转化.

3.3 挖掘课本习题内涵，用好教材

研究高考真题从中把握教学的导向，理解了高考真题不是无本之木、无源之水，真题的背景或解题方法可从教材的例题、习题中找到其基本原形，在备考复习中，教师应有意识的引导学生回归教材，注意挖掘教材中典型例题、课后习题中所蕴涵的数学思想方法，提升学生对教材的理解和认识，扎实数学学习基础.

总之，高考备考复习教与学都应以大纲和说明为依据，认真分析近年的高考真题，把握好备考复习目标和方向，有针对性地做好备考准备工作，提高高考备考立体几何专题复习效果.