“篮球比赛问题”的数学建模教学片断与评析

肖贤伟

【摘 要】 模型思想在初中数学中的应用非常广泛.通过模型思想的教学， 使学生经历从实际背景中抽象出数学模型、探索数量关系和变化规律的过程， 从而使学生运用所学知识和技能解决实际问题，达到提高学习数学的兴趣和应用意识的目的.本文以“篮球比赛问题”为例， 从问题引入、解决、拓展、延伸等方面入手，就在教学中如何渗透数学建模思想谈谈个人的一些做法.

【关键词】 教学实践；篮球比赛；建模能力；应用意识

随着数学教学的不断深入，重视数学知识与现实生活的联系，发展学生的数学应用意识和应用能力，已成为数学教育发展的趋势.因此，在日常数学课堂教学中，教师应结合数学课本知识，将未经简化抽象的现实问题带到课堂上，使学生能运用理解、观察、比较、分析、综合、归纳、抽象、概括等基本的数学思维方法，将实际问题抽象转化为数学模型，然后用数学方法求解模型，使问题得到解答.本文以“篮球比赛问题”为例，就其在教学中如何渗透数学建模思想谈谈个人的一些做法.

1 问题引动、唤起应用意识

师：同学们喜欢篮球运动吗？

众生：喜欢.

师：本节课老师将与同学们一起来研究“篮球运动中的数学问题”，同学们加油啊！

问题1 如图1，一场篮球赛中，运动员小姚在距篮下4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达最大高度3.5米，然后准确落入篮圈（不考虑打板入篮）.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问球出手时他跳离地面的高度是多少？ 师：请同学们审题，寻求解决问题的方法.

评析 问题1中“距篮下4米处跳起投篮”，“篮圈中心到地面的距离为3.05米”，“球运行的水平距离为2.5米时，达最大高度3.5米”，“问球出手时他跳离地面的高度是多少”等数据贴近生活现实，源于自然生活的现实问题，这对喜欢蓝球运动的学生来说感觉相当的亲近，自然，倾注人文关怀.这种源于自然生活的现实问题能唤起学生用数学的眼光审视生活，积极参与数学活动，尝试用数学知识、方法、思想解决问题的应用意识和心理冲动，培育了学生的数学敏感性和应用意识，感受到数学的价值和趣味性.

2 问题解决、体验应用过程

师：如图1，请同学们结合问题1中的现实情境想一想，要解决问题1需用什么数学知识？

生1（思考后）回答：篮球在空中运行的路线是抛物线，可能会用到二次函数的知识.

师：用二次函数的知识解决实际问题的思路是什么？

生2：“问题情境——建立模型——求解验证”.

评析 “用什么数学知识解决问题1”，使学生都处于一种急于求成的兴奋之中，由“篮球运行的路线是抛物线”，学生自然而然地想到利用二次函数的知识可能会解决问题1，从而确定解决问题的思路和方法.

师：用二次函数的知识解决问题1需要借助什么数学工具？

众生：利用平面直角坐标系.

师：同学们的想法很好！下面就请同学们通过小组合作学习结合图1中的关键点建立平面直角坐标系.

师生活动：学生小组合作学习尝试，教师巡视了解、指导学生学习情况（足够学习时间后），收集、反馈、展示小组合作学习成果.

师：请各小组学生代表汇报展示本组合作学习成果.

生3：如图2，我们小组交流得到以投篮者站立点为坐标原点，这点与篮球架和地面接触点中心的连线为横轴建立平面直角坐标系.

生4：如图3，我们小组是以篮球在空中经过的最高点为坐标原点，平行于地面的直线为横建立平面直角坐标系.

生5：如图4，我们小组选择的是以篮圈中心为坐标原点，与水平地面平行的直线为横轴建立平面直角坐标系.

师：以上各组在建立平面直角坐标系时，从不同的角度选择了不同的坐标原点，这些想法都很好，接下来请说说确定篮球运行路线（抛物线）的解析式的思路？

生6：如图2：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意可知点B（2.5，3.5）和C（4，3.05），点B又是抛物线的顶点，可通过建立方程组，确定二次函数的解析式.

生7：如图3，坐标原点是抛物线的顶点，点D的坐标为（1.5，-3.5），通过建立方程组，可确定二次函数的解析式.

生8（其它组的学生）：点D的坐标不正确，应该是（1.5，-0.45）

师（对生8）：你能讲一讲理由吗？

生8：点D的纵坐标应该是篮球的最高点到球圈中心的距离3.5-3.05.

师：很好！这位同学很细心，发现了问题，希望大家向他学习.虽然前面的同学在计算点D的坐标时没算对，但他们的这种解题思路是独到的.

生9：如图4，经过原点的抛物线，顶点坐标是A（-1.5，0.45），可确定二次函数的解析式.

评析 学生在面临一个具有挑战性的现实问题时，仅靠模仿、记忆等方式是很难解决的.在函数学习之前，学生对数与形的学习基本上是分开进行的，只需要对数或形进行单一的思维，即所谓“数缺形时少直观，形少数时难入微”.此时老师利用“形”的引入给学生研究问题带来了直观的空间感受，让学生说出在小组合作学习中从不同的角度选择坐标原点建立平面直角坐标系思路，体验解决问题方法的多样性，不同坐标系的建立让每个学生都处于一种惊奇和不断发现的学习过程中，并形成自已的解决问题的基本策略.教师随堂巡视、指导学生学习并收集、整理学生学习情况，展示小组合作学习成果，即使学生的计算出现错误，教师也及时对学生“独到的解题思路”给予鼓励，激发了学生的学习自信心.较好地落实了《课程标准》“敢于发表自己的想法、勇于质疑、敢于创新，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成严谨求实的科学态度”的课程目标.

师：接下来请同学们说说怎样求出“球出手时他跳离地面的高度”？

生10：根据前面建立的直角坐标系，先确定抛物线的解析式，求点A的坐标，然后用点A的纵坐标减去运动员小姚的身高.

师：说得好！请同学们按照各组构建的思路选择合适的方法独立求解.

全班学生独立解题，教师任选三个学生分别根据图2，图3，图4板书解题过程.

师：对比以上解法，说说你的想法.

生14：我认为生11的解法比较繁，我的解法是：设抛物线的解析式为：y=a（x-2.5）2+3.5，解得：a=- 1 5 ，y=- 1 5 （x-2.5）2+3.5，当x=0时，y=2.25，2.25-1.8-0.25=0.2，他跳离地面的高度是0.2米.

师：这位同学说得很好，说明他能认真分析问题，是大家应该学习的.

生15：选择恰当的方法可使计算简单.已知抛物线的顶点，设为顶点形式，容易求抛物线的解析式.

生16：在建立直角坐标系，求二次函数解析式时，选择坐标原点要注意，怎样才能使运算简便.我认为，在这个问题中，将坐标系的原点选在抛物线顶点处，最好算.

评析 数学计算的教学中最大瓶颈就是怕耽误教学时间，完不成教学任务，（特别是一些公开课、示范课、研讨课）往往是将题目演算步骤由教师全包全揽，以上过程中教师顺着学生的思路，恰当地处理讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、自主计算、合作交流，同时在交流中进一步理解和掌握基本的数学知识与技能，提高了学生的运算能力.

3 问题拓展、发展应用意识

问题2 这场篮球赛中，另一位运动员小蔡跳起投篮，如图5，已知球出手时离地面高 20 9 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，问此球能否投中？

图5 师：请同学们类比问题1的解题思路，构建自己的解法.

生17（简要计算后）：先建立如图6所示的平面直角坐标系，已知抛物线经过坐标原点O和点A -4，- 16 9 ，判断点（4，-0.95）是否在篮球运行的抛物线上，如果在就能投中，如果不在就不能投中.

师：请你来写出你的解题过程.

学生17（板书）：设解析式为y=ax2，于是16a=- 16 9 ，a=- 1 9 ，y=- 1 9 x2，当x=4时，y=- 16 9 ，- 16 9 <-0.95，所以点（4，-0.95）不在抛物线上，因此不能投中.

师：这位同学的解法很好，还有补充的吗？

生18：根据抛物线的对称性，点（-4，- 16 9 ）的对称点是（4，- 16 9 ）可知（4，-0.95）不在抛物线上，所以不能进球（全班掌声）.

师：假设出手的角度和力度都不变，则如何才能使此球投中？

生19（举手）：可以跳高一点.

师：对，可以跳高一点，实际上就是把抛物线沿着y轴向上平移，并用幻灯片演示（图略），你能计算出可以跳高多少吗？

生19：跳起的高度为 49 225 米.

生20：我觉得可以朝着篮球架的方向走一点，我不知道怎么算.

生21：可先计算纵坐标为3.05-4时的横坐标，再求4和这个数的差就行了.

师：同学们，你们认为这位同学的计算方法正确吗？生众：正确.

师强调：朝前走一点，实际是就是把抛物线向右平移（并用幻灯片演示（图略）），这一过程再一次验证了二次函数y=ax2，y=a（x+m）2，y=a（x+m）2+n的联系.

评析 问题2承接问题1，又有变化，不是作简单的模仿，特别是利用点的坐标是否在抛物线上来检验进球与否，体现了用数学的理念，使应用意识和数学模型思想得到了进一步的拓展.对投蓝不进作进一步的探究，看似简单自然，却意味深长，老师巧妙的设问，让学生在不知不觉中复习了抛物线是轴对称图形的性质，以及图形的平移，使知识结构体系浑然一体，从数学现实出发，加强了数学的应用，积累了数学活动经验，发展了学生的应用意识，提升数学核心素养.

4 总结回顾，升华应用意识

师：通过本节课的学习，你在应用数学知识分析解决实际问题方面有什么收获与感想？

生22：通过本节课的学习，知道了在解决现实世界中的实际问题时，将实际问题转化为数学问题求解.

师：请同学们结合自已解决问题1的经历说说将实际问题转化为数学问题的思维过程.

学生议论后你一言我一语回答（过程略）.

师（概括）：从思维层面上讲，寻找解决实际问题的基本过程（思路）有以下几个层次：

第一层次：通过生活现实关注来源于自然、社会中更为广泛的现象和具体的“问题情境”，感受生活问题数学化，明确解决问题的基本策略.

第二层次：在“问题解决的过程中”主动尝试用不同的方法“建立模型”，“求解验证”形成解决问题的基本数学活动经验.

第三层次：通过“问题的拓展”和总结回顾，回归生活的本来面目，实现了由数学看现实，由现实想数学的思维方式的提升.

评析 从学生的总结看，这节课，学生获得基本的数学活动经验和应用意识.通过数学知识生活化，体会数学方法对现实世界中现象的解释，意识到用数学的角度看世界，唤起学生欲发现、想探究、思创造的愿望.

课后感悟 二次函数是初中数学的核心内容，在初中数学课程体系中占据重要的位置，也是数学的难点内容，知识点多、综合性强.让学生应用二次函数知识解决现实生活中的实际问题，变抽象为现实，是培养学生应用意识和数学素养的出发点.本节课用生活中人们司空见惯的蓝球运动为题材，贴近学生的生活经验，使生活走向数学，数学依托于生活，显得自然而然、水到渠成，没有突兀之感，使学生感受数学的亲和力.它还具有降低学生心理预期难度的作用，源于数学来自身边，自然生成一种谐和的安全心理，使数学不再可怕.日本数学家米三国臧说过：“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了.然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益”.这种数学的精神就是我们所说的数学素养，这种回归数学素养的数学教学，就是我们数学教育的理想.