列举法

施劲松

[摘 要]列举法是数学学习中常用的一种方法，操作方法简单，适用范围广，能帮助学生解决复杂的问题。不可否认，这种方法也存在一定的局限性，给人以“笨”的印象。教师在教学中要着重引导学生，使之灵活运用这个“笨”方法，提高解题技能。

[关键词]列举法 “笨”方法 “活”方法 思维通道

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）17-039

列举法是一种借助对具体事物的特定对象，从逻辑上进行分析、罗列，直到得出结果的方法。如何把这种“笨”方法变成“活”方法，在它们之间构建起思维通道呢？接下来，我将通过分析列举法的教学现状、梳理人教版教材来谈谈自己的看法。

一、扫描“笨”现状，冷视“活”呈现

列举法作为数学中的通法，使用范围广、形式直接、方法明了易懂。但这个所谓的“笨”方法其实也不好用，它蕴涵着许多数学原理和思想方法，稍有不慎就会弄巧成拙。下面是几种常见的列举法教学现状：

1.真“笨”——面面俱到型

如教学数学广角“鸡兔同笼”时，我出示例1：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”部分学生用列举法找出了答案，我在全班学生面前表扬了他们。

此时有学生小声地说：“这个方法真‘笨，要把所有可能一一列出来。”基于以上课堂细节，我在课后进行了调查，发现并不是所有的学生都喜欢这种“面面俱到”的方法。统计结果如下：27.3%的学生认为这是好个方法，72.7%的学生认为太麻烦。这样的调查结果引起了我的思考，这样的完整列举真的很好吗？

2.假“活”——急功近利型

如教学“小数的意义和性质”时，我让学生完成练习十的思考题：用数字卡片2、3、4和小数点 . ，能够组成多少个不同的小数（每张卡片都要用上）？一开始，我先让学生说一说解题的方法，很快就有学生提出用列举法。我对这个方法给予了肯定，学生开始进行合作研究。5分钟后，在课堂结果展示环节中，学生反馈了两种“急功近利”的研究结果：一种是很快有得到了结果，但结果不完整；另外一种的结果虽然完整，但看起来杂乱无章，缺乏有序思考。我不禁思考，这种现象该如何解决？如何让“笨”方法变成“活”方法？

3.“笨”“活”结合——表里不一型

如教学“三位数乘两位数”练习八第12题“用0、2、3、4、5组成三位数乘两位数的乘法算式，你能写出几个？你能写出乘积最大的算式吗？”时，学生的第一反应是用“笨”方法来解答，把满足条件的算式都罗列出来，从组成最大数开始考虑。他们先用5、4、3组成最大的三位数543，然后用剩下的0和2组成20，最后把这两个数相乘，却发现得等到的结果并不是最大的。于是他们做了一些调整，把5和4放在最高位，按上述方法再次进行操作。最后我和他们一起回顾整个过程，整理思路。因为一开始的想法比较“笨”，学生在列举时花费了大量的时间，虽然方法比较“活”，但“表里不一”，总体效率不高。

现实教学中，由于各种客观原因，教师未能把列举这个“笨”方法真正用到实处。但“笨”方法真的是可有可无、可教可不教的方法吗？我认为答案一定是否定的。带着这样的认知和思考，我细细研读课标和教材，结合课堂教学和生活实际，寻找沟通“笨”方法和“活”方法的思维通道，发现“笨”方法其实有很大的改善空间。

通过仔细梳理人教版教材中关于列举法的内容，我发现其背后的“活”价值。列举法就是让学生经历从“笨”方法到“活”方法的体验，使之体会数学思想方法对解决问题的作用，构建思维通道，培养学生的思维能力。

二、运用“笨”方法，激发“活”思维

数学课堂上，研究和解决问题往往需要通过实践和探究活动把所有可能出现的情况列举出来。这种看起来比较“笨”的方法，其实正好能逐步激活学生已有的认知水平和知识经验储备。在此基础上，教师应进行恰当的引导，帮助学生构建思维通道，使他们在使用列举法时逐步有序起来。“序”是列举法的核心，只有经历这样的过程，思维才能“活”起来。学生通过有序地思考问题、解决问题，才不会使结果出现遗漏或重复的现象。

1.“笨”操练，激活“序”

【“长方形和正方形”例5教学片断A】

出示例5：用16张边长是1分米的正方形纸拼长方形和正方形。怎样拼，才能使拼成的图形周长最短？

生1：我们可以动手拼一拼，然后对不同的拼接结果进行比较，就可以知道答案了。

师：拼的时候要注意什么呢？

生2：要注意顺序，先尝试排1排，再尝试排2排、3排……

师：这样做有什么好处呢？

生2：这样做能很好地避免重复或遗漏的情况。

师：你的想法很好！分类、按顺序列出所有的可能情况，是学习数学的重要方法。根据这个方法，下面我们开始活动吧。

（学生操作，教师巡视学生分类、列举的操作过程，适时进行引导，最后组织学生交流汇报结果，激活学生的“序”）

小学生的思维以形象思维为主，其发展要经过相当长的由具体到抽象的过程，他们的思维能力还相当薄弱。教师要给学生必要的提示，帮助学生形成清晰的思路。

2.“笨”探究，灵活“序”

【“长方形和正方形”例5教学片断B】

师：同学们刚才借助小正方形，运用列举法把可能的结果一一列了出来。如果不借助小正方形，你能把这些可能的结果都列举出来吗？

生1：可以用除法，把16个小正方形拼成1排、2排、3排……然后思考拼出图形的长和宽。

师：你能具体说一说吗？

（学生说思路，教师协助列举，补充表格）

师：像这样把可能出现的情况一一列举时，要注意什么？

生2：要注意按一定的顺序列举。

生3：排除不符合要求的情况。

生4：既不能重复，也不能遗漏。

根据学生的特点，教师要放手让学生在动手、动口和动脑的相互协助中进行自主探究知识的活动，并内化成自身的认知经验。上述教学片断中，教师适时提出不借助学具进行列举的要求，引导学生体会到根据长和宽的特点进行列举比较的方便之处和简洁性。把用列举法得到结果记录在表格中，既能减轻学生记忆的负担，又能使学生喜欢上填表列举的方法，激起学生优化方法的欲望，发展他们思维的有序性。

三、调整“笨”排列，构建“活”通道

数学思想方法是数学知识的精髓，但数学思想方法的形成不是一日之功就能实现的。隐性的经验只有经过筛选、调整、积累等过程，才会慢慢丰富起来，才会形成灵活、巧妙的“活”方法。不同学生在使用列举法时，因认知水平和经验基础不同，其呈现出来的显性特征也是不同的。作为教师，我们要顺着学生的思维，帮助他们构建起隐性思维和显性思维之间的通道，引导学生通过筛选、调整、提升等过程，将知识内化于心，让学生的思维真正“活”起来。

1.“笨”排列，“活”筛选

【“鸡兔同笼”例1教学片断A】

出示例1：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？

学生尝试用列表的方法解决问题，从0开始排，逐一罗列，第1种方法如下所示。

师：仔细观察，你能发现什么？

生1：从左往右看，鸡的数量增加，兔子的数量就会减少；从右往左看，兔子的数量增加，鸡的就减少。

生2：每增加1只鸡，减少一只兔子，脚的数量就会减少2只。

生3：要使脚的数量减少2，就要把1只兔子换成1只鸡。

……

最后，通过逐一列举，学生得出符合要求的结果是鸡有3只，兔子有5只。

方法1列举了所有的可能情况，能有效避免重复和遗漏的情况。根据这个方法的显性特征可以分析学生的隐性思维：学生能弄明白鸡兔同笼问题，知道鸡和兔子数量变化与腿的数量变化之间的关系，思维具有一定的缜密性。但这种方法又不免过于死板，没有上升到技巧的高度，“活”不起来。教师在肯定方法正确的基础上，要引导学生进一步优化方法，提升思维层次。

2.“笨”区间，“活”调整

【“鸡兔同笼”例1教学片断B】

师：刚才我们学习了逐一列举的方法，大家还有没有其他方法？

（生展示第2种方法：罗列部分，区间调整，如下图所示）

生1：我是跳着试的。8只兔子有32只脚，于是我减少兔子的数量。我又试了4只兔子和4只鸡的情况，此时一共有24只脚，那么再增加1只兔子、减少1只鸡，就有26只脚了。

师：这是个好方法。同学们，他一共列举了几次？

生2：3次。

师：一定要列3次吗？

生3：不一定，但一定比第一种方法的少！

方法2，学生在方法1的基础上，采用区间套的方法进行了部分列举，体现了它的简便性和技巧性。不断调整方向、缩小范围的过程，体现了学生思维的灵活性和跳跃性。此外，有的学生还对这种方法的使用范围进行了拓展，如在数据更多的问题中的应用。这时，这种方法将能大大降低问题的难度，简化解题过程，使学生的思维层次得到提升。

总之，教师只有不断思考，才能全面、深刻地认识到列举法在数学教学中的优点及其局限性，进而在教学中真正做到“心中有数”，紧密围绕“帮助学生学会数学地思考”这个基本目标，通过有序、延时、筛选、调整、提升等活动，为学生构建“笨”与“活”之间的思维通道，把学生的“笨”方法转变为“活”方法。当然，应用列举法培养学生的思维能力并不是一蹴而就的，这需要教师不懈努力。处理好“笨”与“活”的关系，才能真正培养学生思维的缜密性和周全性，使学生的思维“活”起来。

（责编 吴美玲）