运用数学思想解“三者同笼”问题

李卓 李秋明 蒋丽晶 胡凡

[摘 要]小学数学解题常常会涉及数学思想，要重视数学思想在解题中的渗透和运用，让学生在解题过程中体会数学思想。以鸡兔同笼问题基础上衍生出的“三者同笼”问题为例，从数学思想的角度，探讨了“三者同笼”问题的解法。

[关键词]数学思想 “三者同笼”问题

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）17-053

鸡兔同笼问题，是我国古代著名趣题之一，记载于《孙子算经》之中。鸡兔同笼问题是两者同笼问题，在此基础上还衍生出了“三者同笼”问题。下面以小学数学练习册中的蜘蛛、蜻蜓、蝉三者同笼的问题为例，研究“三者同笼”问题的解法。

【题目】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种小虫共有18只，有118条腿和18对翅膀，蜘蛛、蜻蜓、蝉各有几只？

一、标准答案

首先，蜻蜓和蝉都是6条腿，计算腿的数量时将它们作为一个整体考虑。

假设全是6条腿的小虫，则可知蜘蛛有（118-6×18）÷（8-6）=5（只），那么蜻蜓和蝉共有18-5=13（只）。

再假设这13只都是蝉，则可知蜻蜓的数量为（18-1×13）÷（2-1）=5（只），蝉有13-5=8（只）。

评注：总的来说，标准答案将蜘蛛、蜻蜓、蝉三者同笼的问题化归成了两者同笼的问题。具体地说，首先将蜻蜓和蝉看作一个整体，此时题目就化归为蜘蛛与蜻蜓和蝉组成整体的两者同笼的问题。求出蜻蜓和蝉的总数后，此时题目又化归成了蜻蜓和蝉两者同笼的问题。对于小学生来讲，蜻蜓和蝉怎么看作一个整体呢？看作一个整体后题目到底化归成了什么呢？也就是说标准答案对这些分析还不够具体，因此，从数学思想的角度对这一问题的解法进一步分析，以便小学生理解。

二、运用数学思想解决“三者同笼”问题

分析1：“三者同笼”问题是在两者同笼问题，即鸡兔同笼问题基础上衍生出来的，因此我们要想办法把三者同笼的问题化归为两者同笼的问题，即学生熟悉的鸡兔同笼问题。怎样化归呢？根据已知条件，蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，蜻蜓和蝉都有6条腿，因此忽略翅膀的情况下，可以运用数学抽象的思想将蜻蜓和蝉看作一种动物（见图1），不妨将这种动物命名为“蜻蝉”。此时题目就化归成了变式1（见图2）。

变式1：蜘蛛有8条腿，蜻蝉有6条腿和2对翅膀，蜻蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种小虫共有18只，有118条腿和18对翅膀，蜘蛛、蜻蜓、蝉各有几只？

分析2：变式1是一个不太标准的鸡兔同笼问题，因为变式1涉及了蜘蛛、蜻蝉的头、腿、翅膀，而标准的鸡兔同笼问题只涉及了头和腿，因此，需要的运用简化的思想忽略翅膀，将这个不太标准的鸡兔同笼问题化归为标准的鸡兔同笼问题，即删除有关翅膀的已知条件，此时变式1便化归成了变式2（见图3）。

变式2：蜘蛛有8条腿，蜻蝉有6条腿，现在这两种小虫共有18只，共有118条腿，蜘蛛、蜻蝉各有几只？

分析3：变式2是一个标准的鸡兔同笼问题，古今中外许多人都对它的解法作过研究，可以说它的解法已经有一箩筐了。这里仅列举列方程的解法。

解：设有x只蜘蛛，那么就有（18-x）只蜻蝉。

蜘蛛和蜻蝉共有118条腿，则

8x+6（18-x）=118

x=5。

18-5=13（只）。

蜘蛛有5只，蜻蝉有13只。

将这一结果代入例1，同时运用简化的思想，即删除有关蜘蛛和腿的已知条件，此时例1就化归成了变式3（见图4）。

变式3：蜻蜓有2对翅膀，蝉有1对翅膀，现在这两种小虫共有13只，有18对翅膀，蜻蜓、蝉各有几只？

分析4：与变式2一样，变式3也是一个标准的鸡兔同笼问题，可以运用列方程等解法。

解：设有y只蜻蜓，那么就有（13-y）只蝉。

蜻蜓和蝉共有18对翅膀，则

2y+（13-y）=18

y=5。

13-5=8（只）。

蜻蜓有5只，蝉有8只。

评注：这种解法从数学思想的角度对例1的解法进行了具体分析。首先，运用数学抽象的思想将例1化归为变式1；其次，运用简化的思想将变式1化归为变式2；最后，运用简化的思想将例1化归为变式3（这一过程见图5）。

三、解题感悟

以上两种解法本质上是一样的，都是将三者同笼的问题化归为两者同笼的问题。但是，第二种解法与标准答案的解法相比运用数学思想更为明显，学生可以更好地感受数学思想。使学生获得数学的基本思想是数学课程的重要目标，数学课程固然应该教会学生许多必要的数学知识，但更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想。因此让学生感受第二种解法中的数学思想也是新课程理念的要求。此外，利用数学思想将三者同笼问题化归为两者同笼的问题这一过程中，运用的抽象、简化的数学思想都是比较简单的，也是学生非常容易理解的。

四、结语

数学思想是关于数学内容和方法的本质认识，是对数学内容和方法进一步的抽象和概括。教师要重视数学思想在解题中的渗透和运用，让学生在解题过程中体会数学思想。

（责编 童 夏）