弹道导弹被动段中断航迹关联方法

毛艺帆， 张多林， 王　路

(空军工程大学防空反导学院， 陕西 西安 710051)

弹道导弹被动段中断航迹关联方法

毛艺帆， 张多林， 王路

(空军工程大学防空反导学院， 陕西 西安 710051)

摘要：为了解决航迹中断前后难以判定目标归属的问题，对处于被动段飞行的弹道导弹中断航迹关联问题进行了研究。在目标密集的环境下，将旧航迹的预测航迹和新航迹的滤波航迹作为关联样本，计算目标之间的统计距离并以此作为费用矩阵，将航迹关联问题转换为最优分配问题，并采用粒子群算法对模型进行求解，得到最终的关联航迹对。最后，通过仿真验证了该方法的有效性。

关键词：弹道导弹；航迹片段; 统计距离; 航迹关联

航迹关联是航迹融合的基础和关键，主要用于解决不同航迹是否源于同一目标的问题，其有效性将直接影响后续融合结果的正确性。传统航迹关联主要基于航迹连续这一假设条件，只需对航迹之间的相关性进行判定，并且方法已较为成熟，如基于统计的方法[1-3]或基于模糊理论的方法[4-5]。然而，受探测环境、探测器性能等诸多不确定性因素的影响，航迹有可能出现中断的情况，中断一旦产生，传感器将对新航迹重新进行编批，会对航迹融合产生严重干扰，致使中断前已获取的目标信息(位置信息、属性信息等)在中断后无法使用，这对时效性要求很高的反导作战来说，有可能造成致命影响。因此，研究航迹中断条件下的新、旧航迹快速关联方法意义重大。

针对中断航迹关联问题，最早在20世纪80年代就有相关的研究[6]，也取得了一定的成果[7-9]，然而针对弹道目标被动段中断航迹关联的研究还较少。目前，研究者[6-10]普遍采用旧航迹的正向预测航迹作为其中一个样本，采用新航迹起始的一个量测点作为另一个样本，但这种样本的缺点是：新航迹的单个量测点同时存在系统噪声和量测噪声，未经过处理，误差较大，对关联算法的要求较高。

为了解决以上问题，笔者采用旧航迹的正向预测航迹和新航迹的正向滤波航迹作为关联样本，基于新定义的费用矩阵将航迹关联问题转换为最优分配问题，并选用粒子群算法进行求解，最后通过仿真验证其有效性。

1关联样本获取方法

1.1关联样本选择

航迹关联样本的选择就是对航迹关联算法进行计算的对象进行选择，其对关联结果具有至关重要的影响。在中断航迹关联问题中，将中断前、后的航迹段分别称为旧航迹和新航迹。笔者分别选择旧航迹的正向预测航迹和新航迹的正向滤波航迹作为关联样本，如图1所示，它们是2类在时间上重叠的航迹数据。之所以选择这样的关联样本，是因为：1)旧航迹的正向预测航迹是由中断前的航迹量测及估计数据递推获取的，来源可靠；2)新航迹的正向滤波航迹是新航迹量测值根据滤波模型获取的，与单纯的量测值相比，在一定程度上降低了噪声，从而减小了航迹关联的误差。假设样本长度为L，表示自新航迹起始时刻开始的L个探测周期，在k时刻，旧航迹的预测航迹表示为Xpre(k)，新航迹的滤波航迹表示为Xfil(k)，k∈{1,2,…,L}，则Xpre(k)和Xfil(k)是本文要使用的关联样本。

图1　关联样本

1.2关联样本计算模型

由于目标量测状态缺失，因此采用正向航迹递推方法进行预测，得到正向预测航迹；同样地，由于航迹中断，量测状态缺失，新航迹也符合被动段的运动模型，因此采用针对被动段弹道导弹跟踪的状态方程和量测方程进行计算即可。

1.2.1坐标系的选择

在现有的弹道目标跟踪相关研究中，关于坐标系的选择有3种情况[11-12]：1)采用笛卡尔坐标系表示状态方程和量测方程，其缺点是量测有偏，在各个方向互相耦合，量测噪声是非高斯和依赖于状态的噪声，造成滤波困难；2)采用传感器坐标系表示状态方程和量测方程，其缺点是量测方程线性非耦合，目标动力学方程难以进行推导；3)采用混合坐标系，即首先在状态方程坐标系下进行状态预测和协方差预测，然后将预测值转换到量测方程坐标系下进行传感器坐标系的状态更新，最后将传感器坐标系的状态更新结果转移到状态方程坐标系。采用混合坐标系虽然会因多次坐标转换而产生误差，但与采用其他2种坐标系相比，状态方程相对较简单，易于计算和工程实现[11-13]。因此，笔者在被动段弹道导弹跟踪中选择混合坐标系，其中:状态方程坐标系为雷达阵地坐标系；量测方程坐标系为球坐标系。

1.2.2状态方程和量测方程

弹道导弹被动段可细分为自由段和再入段，由于自由段受力简单，可认为其只存在地球引力，而再入段除了存在地球引力外，还存在空气阻力，因此本文只考虑再入段的跟踪滤波。由于导弹在再入段的飞行时间较短，因此可忽略地球公转、自转及其他天体的影响[14-16]。在雷达站阵地坐标系下，目标的动力学模型[9]为

(1)

式中：v为速度；g为重力加速度；ρ(z)=γexp(ηz)，为空气密度，其中，γ=1.754[17]，z为目标距离地面的高度，η=-1.49×10-4=-1/6 700(6 700为大气密度标高)；β为弹道系数，有多种建模方法，本文中β=M/(CDS)，其中，M为目标质量，CD为阻力系数，S为目标迎风截面积。

Xk+1=ΦXk+Gfk(Xk)+G(0,0,-g)T+Wk，

(2)

式中：Wk为过程噪声；

其中，I3为3×3维的单位矩阵，O3为3×3维的零矩阵，T为滤波周期；

(3)

其中Xk(i)为Xk的第i维信息，i=3,4,5,6,7。

假设Wk是白噪声，且与测量噪声是互相独立的，则其协方差阵为

(4)

式中：q1为目标位置的过程噪声；由于在建模时增加了弹道系数β这一项，因此q2为弹道系数β的过程噪声。

量测方程为

(5)

(6)

因此，根据给出的状态方程和量测方程，可获取需要的关联样本数据。

2基于统计距离的航迹关联

2.1相关定义

定义2：k时刻，关联矩阵为Π，其元素为πij，只能取0或者1，当πij=1时，表示X(k)中第i个航迹和X′(k)中第j个航迹是相关的；当πij=0时，二者是不相关的。设旧航迹共有u个目标，新航迹共有w个目标，则关联矩阵为

(7)

2.2航迹关联模型

通过计算样本之间的统计距离g(i,j)，将其作为费用矩阵，并基于其将航迹关联问题转化为运筹学中常见的最优分配问题。其求解方法众多，最基本的方法是匈牙利法和朗格朗日松弛法，比较常用的方法是智能算法，如遗传算法、蚁群算法和粒子群算法等。由于粒子群算法参数调节及实现相对简单，且寻优能力很强，因此本文采用粒子群算法进行求解[19]。中断航迹关联的多维分配模型为

(8)

(9)

式(8)为模型的目标函数，表示对关联矩阵Π的元素πij采用统计距离g(i,j)加权求和之后取最小值；式(9)为模型的约束条件，表示关联矩阵Π每一行(列)只有一个元素取值为1。因此，满足目标函数的所有航迹对即为k时刻的关联航迹对。以此类推，可得整个关联样本在每一步的关联航迹对，此时，设置一个计数器，当k时刻有关联成功的航迹对时，令计数器c(i,j)加1；反之,则数值不变。经过长度为R的样本关联之后，若c(i,j)>I，则认为航迹i和j关联；反之，则不关联，需要进入下一个检测周期进行关联检测。I/R逻辑需要设置的I和R值实际上就是双门限检测样本值和第二门限值，通常设置为3/5、6/8、6/10等[20-21]，根据具体环境的不同，其选取也不同。当双门限检测样本值较大时(如I=10)，航迹预测长度会增加，预测误差也随之增大，总的关联正确率就会降低；加之本文的关联样本是经历了中断之后的航迹预测值，为了最大程度地减小预测误差带来的关联正确率降低的问题，应选用比较小的双门限检测样本值。因此，本文中I/R逻辑选择3/5规则。

3仿真验证

为验证本文方法的有效性，笔者进行了仿真试验。仿真场景设置如下：假设探测目标为30批射程3 000 km左右的中近程弹道导弹，目标源数据可由STK软件生成，添加相应的噪声之后作为传感器量测数据。假设传感器采样周期为T=2 s，测距误差、测角误差和测速误差的标准差分别为σr=400 m，σθ=0.2 mrad，σv=50 m/s，均服从均值为0的正态分布。假设航迹中断的时长为10 s，即5个探测周期，对于所有目标，每个目标的平均探测周期约为450个左右，航迹中断位于第325～330周期。按照本文方法对量测值进行处理，生成关联样本，样本设置为10个探测周期的目标预测航迹和滤波航迹，对航迹关联进行50次蒙特卡罗仿真。图2为30批弹道导弹原始航迹信息，其中细节图是中断部分的航迹。图3为航迹中断前后原始的量测信息，由于目标分布比较密集，故只显示其中10批探测目标(t1,t2,…,t10)。图4为经过关联融合之后的结果，可以看出：在中断时间段之后，关联成功的样本进行加权融合，航迹比较平滑，接近于真实值。采用本文方法与文献[8]、[9]中的方法进行航迹关联正确率比较，结果如图5所示，可以看出：本文方法是行之有效的，且优于文献[8]、[9]中的方法。

改变仿真条件，进行进一步研究。假设航迹中断时长逐渐增加，每次增加1个采样周期，其他仿真条件不变，采用本文方法进行仿真，可得中断时长与航迹关联正确率的关系，如表1所示。可以看出：随着中断时长增加，航迹关联正确率逐渐降低，当中断时长为10个采样周期时，航迹关联正确率已经下降到0.4左右。产生这种结果的原因是：当中断时长增加时，旧航迹需要进行正向预测的步数增多，预测误差越来越大，导致后续的航迹关联正确率越来越低。所以，中断航迹关联的实现是有条件的，对本文方法而言，在航迹中断不超过6个采样点的情况下，可认为本文方法是有效的。

图2　弹道导弹原始航迹及其中断航迹

图3　中断前后量测航迹

图4　关联融合后的航迹

表1　中断时长与航迹关联正确率的关系

4结论

笔者研究了弹道导弹被动段中断航迹关联问题，在目标密集的环境下，采用旧航迹的预测航迹和

新航迹的滤波航迹作为关联样本，并将航迹关联问题转换为最优分配问题，在对一定长度的关联样本进行综合处理后，得到了最终的关联航迹对。因此，与前人采用单个量测点和单个预测点作为关联样本相比，本文选择的样本更加合理。仿真结果表明：在一定条件下，本文的方法更加简单有效。然而，本文的研究只是基于最基本的弹道模型，并未考虑目标机动的情况，因此，下一步将研究在目标机动大、中断时间长、时效性要求较高情况下的中断航迹关联方法。

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(责任编辑: 尚彩娟)

Track Association Method of Unpowered Phase Interruption of Ballistic Missile

MAO Yi-fan, ZHANG Duo-lin, WANG Lu

(Air and Missile Defense College, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China)

Abstract：To solve the problem of difficult to determine the target before and after track interruption, track association problem of ballistic missile in unpowered flight phase is studied. When targets are concentrated, the predicted tracks of old tracks and the filtering tracks of new tracks are regarded as associating samples, the statistical distance between targets is calculated and taken as cost matrix, the track association problem is transformed into optimal allocation problem, particles warm optimization algorithm is used to solve the model, and the associated track pairs are obtained. Finally, the effectiveness of this approach is validated by the simulation.

Key words:ballistic missile; track segment; statistical distance; track association

文章编号：1672-1497(2016)02-0062-05

收稿日期：2016-01-01

作者简介：毛艺帆(1988-)，女，博士研究生。

中图分类号：TJ761.3

文献标志码：A

DOI：10.3969/j.issn.1672-1497.2016.02.013