数格子估算面积与数格点估算面积

王军

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对于估算有明确的要求，即“理解估算的意义”“会用方格纸估计不规则图形的面积”。很多教师认为估算是在不要求精确计算的情况下使用的一种能快捷求出近似结果的计算方法，或者是检验精算结果是否正确的验算方法。但是他们没有意识到，估算更重要的功能在于培养学生的数感、观察能力、空间想象能力和逻辑推理能力。

一、教材中对曲线图形面积的估算

江苏教育出版社小学数学教材五年级上册第22页有这样一道例题：

例11.下面是某自然保护区一个湖泊的平面图，如图1，（每个小方格表示1公顷）。你能估计这个湖泊的面积大约是多少公顷吗？

通过数格子来估算，55个整格，34个非整格，非整格的算半格，这个湖泊的面积大约是72公顷。

这个图形面积的准确值应该在55与89之间，上述估算方法不够精确，思维含量偏低，也较难引起学生的兴趣，有没有其他的估计方法呢？

二、数格点估算面积

1.数格点算面积的方法介绍

通过阅读文献，我们认为，有一种数格点计算多边形面积的方法可以用来估算曲线图形的面积。这种方法起源于格点多边形。所谓格点多边形，就是说这个多边形的顶点全是格点，如图2：

设S为图2的面积，L是边界上的格点数（组成格子的横竖线的交叉点正好在图形的边上），N是内部格点数（交叉点在图形的内部），容易计算出图形面积是11。如果联系到图形的L=6及N=9，还有+N-1的关系式成立，这种方法是否具有一般性呢？

2.数格点估算面积方法合理性的说明

数格子的估计方法学生应该是可以理解的，但是数格点估算面积的方法有何依据呢？先以格点矩形为例。看图3。

设图3矩形的长和宽分别为m和n，则面积S=mn。

再来考虑这个矩形的边界格点数L，L=2（m+1）+2（n-1）；内部格点数N=（m-1）（n-1）；而 +N-1=m+n+mn-m-n+1-1=mn，所以关系式S=+N-1对格点矩形是成立的。

从图形的对称性可知，上述关系式对于格点直角三角形也是成立的，对于一般三角形也是成立的。

3.用不同方法估算图形面积的比较和分析

由于我国一向重视计算结果的准确性以及估算刚刚走进小学课堂，导致很多一线教师对估算教学缺乏相应的经验，因此，在估算教学中存在不少误区。其中之一就是估算的方法、需求单一。我们在教学中要设法改变这种状况，丰富估算的策略和方法，以便根据不同的需求进行选用。下面以江苏教育出版社小学数学五年级上册第22页的一道练习题来说明。

练一练1：估计一下，下图4中树叶的面积大约是多少平方厘米？（每个小方格表示1平方厘米）

用数格子的方法来求面积，整格数有22个，非整格数有34个，因此估计其面积是22+34÷2=39平方厘米。

用数格点的方法来估算，先要在图形上画出与原图面积接近的格点多边形，再计算格点多边形的面积。这里可以放手让学生去画不同的格点多边形，然后展示格点多边形的几种不同画法，继而丰富估算的策略。

观察图5。点画线画出的格点多边形接近银杏叶且比银杏叶的面积大，边界和内部格点数分别是16和39，所以它的面积是46平方厘米；实线格点多边形接近且比银杏叶的面积小，边界和内部格点数分别是20和24，其面积是33平方厘米；这样就确定了银杏叶的面积在33到46平方厘米之间。

与数格子估算面积相比，构造格点多边形估算面积的方法可以更加直观地看出估算面积与原面积的关系，可以更精确地确定面积范围。从思维层面看，数格点更有数学味，其中的思维含量也高一些。

三、皮克（Pick）定理及其应用引入小学数学课堂的积极因素

上述数格点算面积的方法早在1889年就被奥地利数学家皮克发现了，S、L、N三者的关系式被称为“皮克定理”。“皮克定理”被誉为有史以来“最重要的数学定理”之一。

数年前，国外某次数学会议上，一位林业官员向与会者介绍一系列有关数学应用在森林工业中的突出例子。其中一个例子，就是由巡航车在森林中的位置确定的地域范围，用一张画有点阵的透明薄膜覆盖其上，画出格点多边形，数出边界上点数的一半加上多边形内部的点数，从而得出多边形的面积。虽然这位官员并未意识到他基本上（稍有误差）在使用十分完美、实用的皮克定理。

用数格点的方法估算面积，既丰富了估算图形面积的方法，也能培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。在小学数学教学中引入皮克定理，对学生来说应该是可以掌握并在生活中有效运用的，作为小学教师能掌握本体性知识也是有必要的。教学中增加皮克定理的相关知识的介绍，也可以作为数学史在小学数学中的一种渗透，使学生了解到数学的价值，体悟数学的味道，激发学生的数学学习兴趣。

参考文献：

[1]桑帆.小学估算教学的现状及对策研究[J].新课程研究，2014（8）.

[2]谈祥柏.数学不了情[M].科学出版社，2010.

[3]詹国梁.皮克定理及其证明[J].苏州教育学院学报，2000（3）.

编辑 鲁翠红