一类特殊欧式期权定价模型的Matlab算法*

任芳玲　乔克林

(延安大学计算机学院　延安　716000)



一类特殊欧式期权定价模型的Matlab算法*

任芳玲乔克林

(延安大学计算机学院延安716000)

摘要对于股票价格在布朗运动和泊松运动共同作用下、存在交易费用和连续红利的欧式看涨期权定价模型,针对其微分方程解和数值解的复杂性,研究了其期权价格解析式解的Matlab算法,二叉树、三叉树数值解的Matlab算法,从而大大简化了期权定价的过程。最后通过实例研究,对比三种算法所得结果的差异性,并分析了模型中各个参数对期权定价结果的影响程度,从而可为各类新型期权的产生提供一定的理论支持。

关键词期权定价; 二叉树模型; 三叉树模型; Matlab算法

Class NumberF830.9

1引言

随着金融衍生市场的不断发展和完善,多种交易方式和交易价格灵活的新型期权已经成为市场的主角,人们开始越来越关注对此类期权的研究,例如文献[1～2]研究了亚式期权的定价方程,但是由于变异期权的特点是灵活多变,所以研究所得定价形式复杂,其解不易求出,进而人们越来越关注对其数值解的分析。文献[3～4]分别利用蒙特卡罗模拟方法、保险精算方法研究了此类问题的数值解,但是研究结果并不完善,所得过程较为复杂,不易实现。计算机程序语言的引入可以很好地解决此类问题,比如段新生[5]的基于Matlab的股票估价模型设计中,利用Matlab语言分析了经典欧式期权定价模型。田文昭的《金融资产的定价理论与数值计算》[6]一书中,利用C++语言给出多种金融模型的数值计算方法。可见借助于计算机语言是解决此类问题的一个思路和突破口所在。本文针对存在交易费、连续红利、股票价格在布朗运动和泊松运动共同作用下的欧式看涨期权,研究其解析解、二叉树模型、三叉树模型的Matlab实现过程,高效准确地得出了计算结果,并有利于分析模型中参数的涵义,具有重要的实践价值,事实上,文献[7～8]也正是从参数估计的角度研究了期权定价问题。

2模型简述

1) 基本符号:S为股票的现价,X为期权的执行价,t为当前时刻,T为期权的到期日,μ为预期收益率,r为无风险利率,q为连续红利率,σ为无跳跃时股票价格波动率,C为欧式看涨期权价格,λ表示泊松过程的强度参数,k表示交易成本中交易额的固定比例。δt表示期权交易头寸调整时间间隔。

2) B&P共同作用的涵义:B&P(Brownian motion and Poisson motion)指标的资产在布朗运动和泊松运动的共同作用下,即假设股票价格服从下面微分方程:

dS=μSdt+σS(dW+dQ)

其中W为布朗运动,Q为泊松过程(齐次的),N为泊松过程的补偿过程,并且dQ=λdt+dN,都是常数。则

dS=μSdt+σS(dW+dN+λdt)

利用Ito公式,保值策略,得出了该形式下的欧式期权定价方程为

进而利用随机微分方程和数学物理的有关知识可以求出模型的解析式解。

3模型求解的Matlab实现过程

3.1解析式解的Matlab算法

引理1[9]:股票价格遵循B&P(布朗运动和泊松运动共同作用下)过程,并且存在交易费用,存在连续红利,欧式看涨期权的价格为

C=Se-q(T-t)N(d1)-Xe-r(T-t)N(d2)

其中

令

则有

针对引理1中所建立方程编写Matlab算法(M文件)如下:

function[call]=fun1(S,X,r,q,lambd,sigma,k,deltat,T)

sigma1=sqrt((1+lambd)*sigma*sigma+2*k*sigma*(sqrt(2/

(pi*deltat))-lambd/sqrt(2*pi*deltat)-lambd/(4*deltat)))

d1=(log(S/X)+(r-q+1/2*sigma1*sigma1)*T)/(sigma1*sqrt(T));

d2=d1-sigma1*sqrt(T);

call=S*exp(-q*T)*normcdf(d1)-X*exp(-r*T)*normcdf(d2)。

3.2二叉树解的Matlab算法

根据文献[10]中二叉树模型参数设置的方法,进行修正可得股票价格遵循B&P过程,存在交易费用,存在连续红利,欧式看涨期权价格的二叉树模型参数设置为

对于任意一支二叉树有:SerΔt=pSu+(1-p)Sd。

针对上述二叉树模型编写Matlab数值算法(M文件)如下:

function[call]=fun2(S,X,r,q,lambd,sigma,k,deltat,T,N)

sigma1=sqrt((1+lambd)*sigma*sigma+2*k*sigma*(sqrt(2/

pi*deltat))-lambd/sqrt(2*pi*deltat)-lambd/(4*deltat)));

deltaT=T/N;a=exp((r-q)*deltaT);

u=a+sigma1*sqrt((1+lambd)*deltaT);

d=a-sigma1*sqrt((1+lambd)*deltaT);p=1/2;

lattice=zeros(N+1,N+1);

for j=0:N

lattice(N+1,j+1)=max(0,S*(u^j)*(d^(N-j))-X);

end

for i=N-1:-1:0

for j=0:i

lattice(i+1,j+1)=exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1));

end

end

call=lattice(1,1)。

3.3三叉树解的Matlab算法

根据文献[11]中三叉树模型参数设置的方法,进行修正可得股票价格遵循B&P过程,存在交易费用,存在连续红利,欧式看涨期权价格的三叉树模型参数设置为

对于任意一支三叉树有:

SerΔt=puSu+pmS+pdSd

针对上述三叉树模型编写Matlab数值算法(M文件)如下:

function[call]=fun3(S,X,r,q,lambd,sigma,k,deltat,T,N)

sigma1=sqrt((1+lambd)*sigma*sigma+2*k*sigma*(sqrt(2/

(pi*deltat))-lambd/sqrt(2*pi*deltat)-lambd/(4*deltat)));

deltaT=T/N; u=exp(sigma1*sqrt(3*deltaT)); d=1/u;

pd=-sqrt((1+lambd)*deltaT/(12*sigma12))*

(r-q-sigma12/2)+1/6;

pm=2/3;

pu=sqrt((1+lambd)*deltaT/(12*sigma12))*

(r-q-sigma12/2)+1/6;

lattice=zeros(N+1,2*N+1);

for j=0:2*N

lattice(N+1,j+1)=max(0,S*(d^(N-j))-X);

end

for i=N-1:-1:0

for j=0:2*i

lattice(i+1,j+1)=exp(-r*deltaT)*(pd*lattice(i+2,j+1)+pm*lattice(i+2,j+2)+pu*lattice(i+2,j+3));

end

end

call=lattice(1,1)。

4实例研究

已知一个6个月期的欧式看涨期权,期权是在B&P过程作用下,设股票初始价格为52元,执行价格为50元,无风险利率为每年10%,股票价格波动率为每年20%,交易费比例为2%,时间步长为一个月,泊松分布的参数为λ,考虑连续支付红利,红利率为10%,S=52,X=50,T=0.5,r=0.1,σ=0.2,k=0.02,q=0.1,δt=1/12。

1) 研究二叉树、三叉树模型中随着参数N的变化期权价值的变化。

根据本文的三种Matlab算法设计,通过以下函数调用:

C1=fun1(52,50,0.1,0.1,0,0.2,0.02,1/12,0.5)

C2=fun2(52,50,0.1,0.1,0,0.2,0.02,1/12,0.5,N)

得出结果列于表1。

表1　随着树叉数的变化期权价值的解析解、二叉树解、误差

图1　随着树叉数的增加树图法计算期权价值与真实值的趋近规律

表1和图1～图3说明:

(1)随着树叉数的逐渐增多,二叉树、三叉数模型所得数值解越接近解析式所得真实解。

(2)当树叉树N≥20,树图算法与真实值的接近程度已经非常好。

2) 研究解析式解和二叉树解中随着参数λ的变化期权价值的变化。

图2　随着树叉数的大幅增加树图法计算期权价值与真实值的趋近规律

图3　随着树叉数的增加树图法计算期权价值误差的变化规律

通过以下函数调用:

C1=fun1(52,50,0.1,0.1,λ,0.2,0.02,1/12,0.5)

C2=fun2(52,50,0.1,0.1,λ,0.2,0.02,1/12,0.5,100)

得出结果列于表2。

表2　随着的变化期权价值的解析解、二叉树解、误差

表2和图4说明:

(1)随着异常波动参数的增大,二叉树数值解和解析解的误差越来越大。

(2)随着异常波动参数的增大,期权价值会略微增大。

3) 研究解析式解、二叉树解、三叉树解中随着参数δt的变化期权价值的变化。

通过以下函数调用:

C1=fun1(52,50,0.1,0.1,0.04,0.2,0.02,δt,0.5)

C2=fun2(52,50,0.1,0.1,0.04,0.2,0.02,δt,0.5,100)

C3=fun2(52,50,0.1,0.1,0.04,0.2,0.02,δt,0.5,100)

图4　随着异常波动参数的增加二叉树法计算期权价值与真实值的趋近规律

得出结果列于表3。

表3　随着头寸调整时间间隔的变化期权价值的解析解、树图解、误差

图5　随着头寸调整时间间隔的增加树图法计算期权价值与真实值的趋近规律

表3和图5说明:

1) 随着头寸调整时间间隔的减小,调整会越频繁,即交易费用会收取的越多,所得期权价格会越高。

2) 在同一树叉数下,三叉树模型比二叉树模型更接近于解析解所得真实值。

5结语

本文针对一类特殊期权的定价问题,结合简单易学操作方便的Matlab语言,给出了三种方法的数值计算。从实例验证的过程中来看,三种程序语言都是准确可行的,初步解决了变异期权计算繁杂,结果不易用于实际金融市场等问题,为以后解决多种新型期权的定价问题提供了很好的解决思路,对金融市场中的衍生产品定价问题具有一定的实际意义和参考价值。

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收稿日期:2016年1月17日,修回日期:2016年2月25日

基金项目:国家自然科学基金项目(编号:11471007);陕西省教育厅专项科研计划项目(编号:15JK1822);延安市科研计划项目(编号:2014ZC-6);延安大学科研计划项目(编号:YDQ2014-47)资助。

作者简介:任芳玲,女,硕士,讲师,研究方向:金融数学和概率统计。乔克林,男,硕士,副教授,研究方向:金融数学和随机分析。

中图分类号F830.9

DOI:10.3969/j.issn.1672-9722.2016.07.001

Matlab Algorithm of A Specil European Option Pricing Model

REN FanglingQIAO Kelin

(College of Computer Science, Yan’an University, Yan’an716000)

AbstractIn this paper, for a kind of European call option pricing model with stock price’s Brownian and Poisson process, transaction cost and continuous dividend, aiming at the complexity of its differential equation solution and numerical solution, the Matlab algorithm of option price’s analytical solution, the Matlab algorithm of Binomial tree, Triple tree model’s numerical solution are studied, Thus the process of option pricing is greatly simplified. Finally, through the example study, comparing the difference of three kinds of algorithm results, the influence degree for option pricing results of every parameter in this model is analyzed, which can provide certain technology support to the production of all kinds of new options.

Key Wordsoption pricing, binomial tree model, triple tree model, Matlab algorithm