问道例题变式探究教学的“贵、实、重”
——使高三例题教学成为好数学教学的实践与思考

浙江省象山中学　(315700)

张宗余



问道例题变式探究教学的“贵、实、重”
——使高三例题教学成为好数学教学的实践与思考

浙江省象山中学(315700)

张宗余

章建跃教授提出“使高考复习成为好数学教学”，好数学教学的根本标准是“数学育人”，即在学生的终身发展上产生最大的长期利益，具体体现在使学生学会思考，进而学会学习.而在高三复习教学过程中，例题教学一直占据重要的地位，其中例题变式探究教学是我们在教学过程中常使用的教学形式.它是在教师的指导下，以例题为载体，以学生自主学习和合作讨论为前提，以变式为主要学习手段，为学生提供自由表述、质疑、探讨问题的机会，强调多向互动，教学相长的一种教与学的操作体系，教学中教师有意识地对数学例题作多层面、多角度的变式与探究,引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律，将教学活动营造为开放、宽松、愉悦、和谐的师生探究与合作交流的过程，逐步培养学生灵活多变的创新思维品质，完善学生的认知结构，提高学生发现问题、解决问题和探索创新的能力.本文围绕着成为“使高三例题教学成为好数学教学”的主题，以一节离心率取值范围问题专题复习为例，谈谈本人的实践和思考.

1、“一题多解”，“贵”在知识的梳理和方法的渗透

图1

设计意图问题是课堂活动的载体，是教学成功的开始，例题教学主要是围绕某数学问题(例题)而展开的，波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”，因此选好例题对复习课教学尤为重要.选用的例题应取材于最普通、最常见的习题,学生都能接受,不宜过难.本节课堂的引例，即是教材例题的改编,也是高考原题，内涵丰富,可将椭圆的定义和性质联系在一起，很具有代表性和典型性.

教学环节1.1T：本题涉及哪些基本概念?

S：定义、几何特征量、焦半径、焦点三角形等；

T：得出结论需要哪些条件?

S：需要找到a、b、c的不等关系.

设计意图这是例题教学过程中起始的一步，解题教学的首要目的就是巩固概念，教师通过2个提问，对基本概念和基本知识进行一次有效的梳理，凸显以例题练习为主线，内容复习为辅的教学形式.而当前普遍的做法是，老师替学生读题，读完就问：“本题属于什么题型?”接着就问：“某某同学,你说该怎么解?”这样的处理缺乏对逻辑推理的重视，没有从概念和定理出发思考和解决问题.教师所要做的与学生一起分析题意，交流解题思路，教师在适当时机给点睛之笔.

教学环节1.2T：我们请几位学生板演，其他学生动手解答?

T：还有不同的方法吗？你是怎么想到的？你认为解这类题目的一般步骤是什么?

S：几何方法、代数方法，变量分离法等(略).

设计意图我们深知数学教学既要 “结果”更要 “过程”，“讲解题，不讲怎样解题”、”讲解法，不讲如何想到解法”，最后总结为“解法n+技巧n ”的技巧灌输式教学，只会给学生加重学习负担，禁锢学生的思维.让学生自己动手操作、自主实践、独立思考，而不是教师包办板演、学生模仿，学生参与课堂教学心理体验，与知识形成过程的再现，数学思想方法的运用对培养学生的探究能力是极其有利的，这是成为好的数学教学核心.同时，解题教学的最终目的是让学生学会思考，通过解法的展示与评价，让学生总结各种方法的优劣，并对数学知识与方法的运用既“知其然”又“知其所以然”，以学会合理地选择，快速地、有效地解题，也是我们在例题教学中需要认真研究的问题.

对“一题多解”的再认识：波利亚指出：“数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思.”在寻找问题的求解过程中，一般包括对问题情境的认识，思想方法的探求，解题行动的实施和解题后的反思等环节.解决了一个问题后，不要急于进入下一题，要引导学生反思所运用的解题策略，探索新的解题思路，培养学生思维的灵活性、深刻性和创造性.

数学习题浩如烟海，要提高高三复习中例题教学的有效性，教师决不能就题论题，要用“活”例习题资源，注重知识的横向联系，及例题具有的延伸性，进一步一题多变，挖掘其潜在的内容，引导学生向更广的范围、更深层次去联想、纵横引申，促进知识融会贯通，促进解题能力和思维能力不断提高，形成解题方法和策略. 对于典型问题，教师既要讲究通性通法，又要引导学生从不同角度观察、思考、联想，从多角度寻求解决问题的途径，即一题多解，这样有利于学生掌握知识方法，领悟数学思想的实质，培养思维的发散性和创造性，从而最大限度地发挥例题教学的有效性.同时在教学行为上，教师通过适时追问，为学生搭设思维跳板，帮助其开拓思路，活跃思维，使一题多解的数学教学过程不仅洋溢着火热的数学思考，更散发着厚重的数学规律，展现着丰富的数学思想方法，使学生的数学解题能力在探索中形成与提高，数学思维向纵深发展.

2、“一题多变”，“实”在方法的比较与思想的提炼

T：我们将角从90°变成60°，上述方法还可行么？

S1：几何法和变量分离还是可行的.

设计意图一个符合学生思维发展的“过程”是学生积极思维的助推器.学习兴趣的诱发器.如果教师一味让学生做题而不重视知识发生、形成、运用的过程，学生就会陷入题海，疲于应付，复习效率低而事倍功半.反之，教师若能重视在课堂上设计一个又一个形式各异的问题，再现知识发生、形成与运用的过程，复习的效率自然会有事半功倍之效.因此，通过对题目中条件的改变，使问题更一般化，让学生对引例中的多种解法重新审视，找出其中本质的、核心的方法.我们不难发现变量分离思想是其中比较有效的方法，风采依旧、魅力不减.

教学环节T：变式1将90°角变成60°角，这是我们改编题目的一种方法，我们还可以从哪些角度去变式？

S1：F1,F2太特殊了，可以改变点的位置，来改编题目.(下面是学生的编题，由学生自己解决)

解：设P(acosθ，bsinθ)，由OP⊥PA得

变式3椭圆中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点的直线交椭圆于P,Q两点，且OP⊥OQ,求椭圆离心率的范围.

设计意图数学复习教学要为学生主动学习与体验过程创造更多的机会和条件，教师告诉学生变式的方法和技巧，引导学生进行编题，既充分调动学生学习的积极性，又让学生在自编自导中，互相提供丰富的学习资源，培养学生分析问题和解决问题的能力，尤其是提出问题的能力.只有让学生时刻把“举一反三”、“触类旁通”放在心上，反复实践，在学会独立思考和获得对数学知识的理解中，学会学习和思考，增长经验和智慧，并形成正确的价值观.使他们获得终身发展的能力，也掌握考场制胜的法宝.

对“一题多变”的再思考：变式教学就是一种行之有效的方式. 在复习过程中，教师要充分发挥题目的“迁移”作用，引导学生从“最近发展区”对例题进行深入挖掘，加工改造，探索知识的内在联系，使学生理解和掌握例题阐述的概念、原理、规律和解题方法，进而培养学生独立分析和解决问题的智慧，真正掌握解题的“金钥匙”.

数学知识的传授离不开解题，但题不在多，而在于如何将题目的作用发挥到极致.在数学教学中，若能根据知识的特点，结合学生的具体实际进行变式教学，能有效地培养学生的归纳总结能力，使学生从整体上把握知识的内在规律；能够培养学生由此及彼的迁移能力，收到“解一题，带一片”的效果，帮助学生摆脱“题海”之苦，又促进了学生知识能力的高效正迁移，大大提高复习的有效性.

3、“一法多探”，“重”在方法的提升与灵活运用

设计意图让问题贯穿在整个教学过程中，带着问题学习，带着问题思考.数学复习课的设计，教师既要重视分析思维的过程，而解题让学生自己完成，又要通过一些推广性的问题进行变式思维训练，让学生在课堂上研究，延长学生自觉参与课堂教学的心理活动过程.通过变式训练，不断提高变量分离法的运用能力.让学生形成解题的思路，就是不顾一切的寻找条件等式，变量分离变化为有关不等式，从而解得e的取值范围.这里设计了两个例题，是对变量分离思想方法的灵活运用.例1变量不等式明显，易于操作；例2变量不等式不明朗，则需要我们挖掘条件的隐含，正确分析和恰当处理.

对“一法多探”的再回顾：多年前，孙维刚老师提出“一题多解、多解归一、多题归一”，在训练学生思维能力的同时，让学生能够站在系统的高度看问题，进而升华到从哲学的角度认知世界，从而形成强大的学习能力.在例题变式探究教学过程中，“一法多探”是在“一题多解”、“一题多变”基础上的一次提升，更是对核心问题和核心方法的一次提炼.从教育功能上说，是学生自我探究、合作交流成果的体现，能极大的满足学生的求知欲，让学生充分感受到探索的乐趣和成功的喜悦，实现对情感、态度与价值观的体验.这样通过变式探究教学不但要培养学生的问题意识,发展学生的创新思维能力,更是通过变式和自我探究引导学生学会学习和掌握科学方法,为终身学习和工作奠定基础.

“让学生带着问题轻松步入课堂,在愉快且又适度紧张中学习(探究);又要让学生带着新的、更高层次的问题走出课堂,在自由自在中研究(学习)、发展.”这是例题变式探究教学理想化追求，也是实现使高三例题教学成为好数学教学的关键所在.我们的教师则是教学内容、过程、活动的组织者、参与者和积极的评价者;是学生学习的引导者、帮助者.其任务是调动学生的积极性,促使他们自己去获取知识、发展能力,做到自己能发现问题、提出问题、分析问题、解决问题；教师要为学生的学习设置探究的情境，建立探究的氛围,促进探究的开展,把握探究的深度,评价探究的成败.

[1]章建跃.怎样使高考复习成为好数学教学[J].中小学数学(高中版),2011,9.

[2]邹大鸣.离心率范围的求解途径[J].中学数学,2003,5.