一道立体几何调研题的多角度思考

安徽省滁州中学　(239000)

傅毓涛　王　圣



一道立体几何调研题的多角度思考

安徽省滁州中学(239000)

傅毓涛王圣

笔者在一道高三综合试卷上遇到这样一道立体几何问题:

图1

(1)求证：MN⊥AP；

(2)求二面角M-AN-P的正切值.

对于第(2)小问的二面角问题，可以从多个角度加以思考.

方案一：如图2,取B1C1的中点D，连接DN，DA1，过点P作PE⊥A1D于点E.过E作EF⊥AN于F，连接PF.

由三垂线定理知∠PFE为二面角M-AN-P的平面角.

图2

图3

图4

图5

图6

方案五：由图6可得

评注：前三种解法，是常见的求二面角的平面角的方法，后三种解法均是灵活利用向量的性质，避开了构作二面角的难点，不失为求二面角平面角的思想方法，教学中可适时进行渗透.

一题多解并不是教学追求的终极目标，但是在一题多解的过程中能提高学生分析问题、解决问题的能力，使得知识点相互贯通、融汇，最终达到提高的目的.