充分条件与必要条件的三种判断方法

建华

摘要：充分条件、必要条件是简易逻辑中的重要概念，在高考命题中常常出现。其概念抽象且不易理解。因此，如何正确理解和准确判断充分或必要条件是高中数学中的一个难点。作为教师，我们应该让学生掌握好充分条件与必要条件的判断方法，从而达到培养学生逻辑思维能力的目的。

关键词：充分条件；必要条件；定义法；集合法；等价命题法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）11-0080

充分条件、必要条件是简易逻辑中的重要概念，在高考命题中常常出现。其概念抽象且不易理解。因此，如何正确理解和准确判断充分或必要条件是高中数学中的一个难点。下面，笔者就介绍三种判断充分条件与必要条件的常见方法。

一、定义法

1. 若p？ q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件；2. 若p？ q，且q p，则称p是q的充分但不必要条件；3. 若p q，且q？ p，则称p是q的必要但不充分条件；4. 若p？圳q，则称p是q的充要条件；5. 若p q，且q p，则称p是q的既不充分又不必要条件。

初学者容易分不清谁是充分条件谁是必要条件，下面介绍一个简便记忆法：如果把符号“？ ”的左边当做箭头前，右边当做箭头后的话，箭头前的是充分条件，箭头后的是必要条件，可记为“前充后必”。

例1.“x-1=0”是“（x-1）（x-3）=0”的 条件

解：因为当（x-1）（x-3）=0时x=1或x=3，所以并不一定x=1（即x+1=0），故（x-1）（x-3）=0 x-1=0，但是x-1=0？ （x-1）（x-3）=0。此处应该填“必要不充分条件”。

另外，由充分条件和必要条件的概念可知 ，“充分条件”与“充分不必要条件 ”不是 一回事 ，“必要条件”和“必要不充分条件”也不是一回事。例如，“x-1=0”是“x2-1=0”的 条件。显然，此处填“充分不必要条件 ”比填“充分条件”更为准确 。 再如，若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则r是p的 。 此处应该填“必要条件”，如果填“必要不充分条件”就错了。

二、集合法

给定两个命题p，q可以考虑A={x|x满足p}，B={x|x满足p}，则：1. 若A？哿B，则p是q的充分条件；2. 若A？勐B，则p是q的必要条件；3. 若A？哿B且B？芫A，则p是q的充分但不必要条件；4. 若B？哿A且A？芫B，则p是q的必要但不充分条件；5. 若A=B，则p是q的充要条件；6. 若A？芫B，且B？芫A，则p是q的即不充分又不必要条件。

例2. 命题p：x-5>0，命题q：x-10>0，问p是q的什么条件？

解：令A={x|x-5>0}，B={x|x-10>0}，因为A？哿B且B？芫A，所以p是q的充分但不必要条件。

例3. 命题p：x-5<0，命题q：x-10<0，问p是q的什么条件？

解：令A={x|x-5<0}，B={x|x-10<0}，因为B？哿A且A？芫B，所以p是q的必要但不充分条件。

例4. 命题p：x =x2，命题q：2x+3=x2，问p是q的什么条件？

解：令A={x|x =x2}，B={x|2x+3=x2}，通过解方程可得A={0，3}，B={-1，3}，因为A？芫B，且B？芫A，所以p是q的即不充分又不必要条件。

三、等价命题法

由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当遇到原命题不容易判断时可以转而判断它的逆否命题来完成。即p？ q等价于 q？ p，此时p是q的充分条件， p是 q的必要条件。

例5. 若命题p：x≠1，且x≠3命题q：x+y≠4，问p是q的什么条件？

解：其逆否命题是 q∧ p：若x+y=4则x=1或x=3，经过判断逆否命题是假命题但其逆否命题的逆命题是真命题因为 p？ q，但 q p，所以 p是 q充分不必要条件，所以p是q的必要但不充分条件。