弗雷歇和里斯泛函表示思想比较分析

冯丽霞，袁　敏

(1.西北大学 数学与科学史研究中心,陕西 西安　710127;2.山西师范大学 数学与计算机科学学院, 山西 临汾　041000)摘要：连续线性泛函表示是泛函分析的一个重要分支。弗雷歇和里斯在连续线性泛函表示方面做出了重要工作。通过文献考证和历史分析,从目的、方法、影响3个方面详细比较分析了二人在同一工作中的本质区别,阐述了他们研究风格不同的内在原因。为泛函分析的教学提供历史视角。



·科学技术史·

弗雷歇和里斯泛函表示思想比较分析

冯丽霞1，2，袁敏1

(1.西北大学 数学与科学史研究中心,陕西 西安710127;2.山西师范大学 数学与计算机科学学院, 山西 临汾041000)摘要：连续线性泛函表示是泛函分析的一个重要分支。弗雷歇和里斯在连续线性泛函表示方面做出了重要工作。通过文献考证和历史分析,从目的、方法、影响3个方面详细比较分析了二人在同一工作中的本质区别,阐述了他们研究风格不同的内在原因。为泛函分析的教学提供历史视角。

弗雷歇;里斯;连续线性泛函表示

连续线性泛函(简称泛函)的表示是数学综合和解析思想的完美结合,是泛函分析理论建立之前的重要思想基础,也是泛函分析理论建立之后的一个重要研究分支。弗雷歇(Maurice Fréchet,1878—1973)是抽象空间理论的创立者,里斯(Frederic Riesz,1880—1956)是泛函分析理论的奠基者,二人都在泛函表示方面做了重要工作,已有研究文献对他们在此方面的工作都有综述。文献[1]对弗雷歇一生的研究工作做了全面的叙述和评析,文献[2]分析了阿达玛(Jacques Hadamard,1865—1963)对弗雷歇在泛函表示工作上的影响,文献[3]对里斯之前的泛函工作做了概述,文献[4]从解析和综合的角度分析了里斯泛函表示中的哲学思想,文献[5]在弗雷歇工作的基础上重点陈述了里斯泛函表示的工作及其在泛函分析史中的地位。显然弗雷歇和里斯对同一问题的不同处理方式与其思想方法密切相关,但鲜有文献对他们在这一工作中所表达的思想方法进行具体比较分析。数学思想始终是数学史研究关注的主题,在很大程度上,数学史就是数学思想史[6]。有鉴于此,本文在研读相关原始文献基础上,从目的、方法、影响3方面对他们的泛函表示工作对比分析,试图还原他们工作之间的联系与区别,分析其中所蕴含的思想与内在本质,以期更好地理解泛函分析的历史发展过程,也为泛函分析的教学提供历史视角。

1　动机与目的

1.1弗雷歇的动机与目的

弗雷歇关于泛函的表示工作始于其导师阿达玛1903年发表的一篇短注[7],该文中阿达玛给出了C[a,b]上泛函的一种积分极限的表示形式。弗雷歇以此为出发点,于1904至1907年发表了3篇关于泛函表示的文章[8-10],构成其抽象分析理论的一部分。

对相关文献分析可知,弗雷歇专注于泛函表示工作,并未涉及该工作之外的其他研究,这与其抽象分析理论的建立框架一致,其目的就是要给出由沃尔泰拉(Vito Volterra,1860—1940)创立的泛函的解析表示,试图通过具体的函数来表示抽象的泛函[4]。弗雷歇从横(函数的范围)、纵(表示的形式)两方面对泛函的表示问题进行了深入探讨,渗透了他对这一问题的思考和认识,这在1905年的文献中表现尤为突出。该文中,弗雷歇并未给出令人满意的结果,更多的是阐述了他对这一问题的深思,但正是这些思考,使他认识到更广泛的函数空间及其上泛函更一般的表达形式,这为其在第3篇文献中对泛函表示问题的突破奠定了基础。正如杜格所言“(弗雷歇)在泛函上的兴趣以及关于它们的表示毫无疑问持续了十年多,在此期间,他不断(对这一问题)批判、重证、推广和改进”[4]。可以说,弗雷歇关于泛函表示的工作是在抽象综合观点下对这一抽象概念的解析分析。

1.2里斯的动机与目的

里斯关于泛函的表示工作始于其对希尔伯特(David Hilbert,1862—1943)积分方程理论的研究,在里斯-费舍尔定理的应用中,他提到关于L2[a,b]上泛函的表示[11],这是他泛函表示的最初工作。随后里斯完全解决了始于阿达玛,经弗雷歇深入探讨的C[a,b]上泛函的表示问题[12],Lp[a,b]，lp以及希尔伯特空间上泛函的表示问题[13-15]，共发表了5篇文章,时间跨度达20年。

里斯的泛函表示工作始终与求解方程问题相结合。除C[a,b]上泛函的表示工作之外,里斯早期在(函数或序列)空间上泛函的表示工作总是穿插在其对(积分或无限维线性)方程(组)的研究中, 这表明里斯最初不是以解决泛函的表示问题为主要或唯一目的, 这在后人归功于里斯的lp上的泛函表示工作表现更为突出。这部著作[14]中, 他并没有直接提及lp上泛函的表示, 只是隐含在其对无穷线性方程组的研究中。 即在C[a,b]上泛函的表示思想,之后也被应用到奇异积分方程理论的研究中[16]。

2　思想与方法

2.1弗雷歇的思想与方法

在泛函表示工作中，弗雷歇摒弃了阿达玛从函数积分表达形式出发的方法。无论是C[a,b],[a,b]上有界可测函数空间还是L2[a,b],弗雷歇都从所考虑函数空间中函数的(广义)傅里叶级数表示形式出发,这些级数按照其所在函数空间中的距离收敛,再由泛函的连续线性，作用在函数上的泛函就等于作用在级数中每一项后得到的级数。这样,类似于函数的幂级数表示形式,给出了泛函的一种级数表示形式。阿达玛的工作促使弗雷歇在级数表示基础上进一步表示为积分(极限)的形式。纵观弗雷歇在此方面的工作,我们可构造一个简单模型来说明其思想与方法。

弗雷歇的突破之处在于对{cn}继续分析,进一步确定{cn}可能是哪个函数的(广义)傅里叶系数,并由此构造出该函数,从而给出泛函的积分(的极限)的表达形式。这一突破的成功之处是给出了L2[a,b]上泛函的完全表示。其局限之处也在于完全依赖所考虑空间中函数的解析表示,弗雷歇已具有空间的思想,但没有从空间的整体出发。

2.2里斯的思想与方法

分析里斯的泛函表示工作,可看到他是从该函数空间上泛函可能具有何种表示形式出发,然后证明该函数空间上的泛函确实具有此形式。最典型的例子为C[a,b]上泛函的表示,里斯首先认识到黎曼-斯蒂杰积分就能表示C[a,b]上的连续线性泛函,接着他通过C[a,b]上的泛函去构造可能被用来表示该泛函的有界变差函数。同样在Lp[a,b]上泛函的表示工作中,他首先认识到Lq[a,b]中的任一函数与Lp[a,b]中函数的勒贝格积分就确定Lp[a,b]上的一个泛函,接着利用Lp[a,b]上的泛函去构造可能被用来表示该泛函的Lq[a,b]中的函数。

在对泛函认识和构造函数的过程中,里斯的一个重要思想是认识到并充分利用连续线性泛函的有界性,从中可看到里斯对黎曼-斯蒂杰积分和勒贝格积分的娴熟运用。里斯的另一重要思想是将泛函表示与某类积分方程解的存在条件之间建立了等价关系,得以从更高观点分析具体问题。迪厄多内(Jean Alexandre Eugène Dieudonné,1906—1992)称“(里斯的方法)是与盛行于所在时代线性代数概念的完全脱离”[5]。可以说此时里斯已经具有非常明确的空间思想,与弗雷歇局限于空间中每一函数的具体表达形式不同,他是从空间整体出发来考虑其上的连续线性泛函。

2.3弗雷歇和里斯关于L2[a,b]上连续线性泛函表示思想分析

弗雷歇和里斯同年(1907年)在同一期刊上发表了关于L2[a,b]上泛函的表示工作,而且在此前后,二人在学术交流上通信频繁,信中或多或少都提到自己或对方的工作,可以说二人在这同一工作中互相促进启发,但其主要思想又是互相独立的。

结合里斯和弗雷歇的具体文献,我们看到弗雷歇关于L2[a,b]上泛函的表示工作只是其文献(1907年)的一部分(第二部分,该文共分三部分),在该文中弗雷歇首先研究有界可测函数空间上的泛函表示,在第三部分又研究了几类其他函数空间上的泛函表示,这几类函数空间上表示的方法与前文提到的模式完全一致,都是以函数的(广义)傅里叶级数为出发点。弗雷歇得到L2[a,b]上泛函的完全表示在一定程度上是一种巧合,其方法正好与L2[a,b]中函数的性质相吻合,同样的方法对于有界可测函数空间,他只能给出其上泛函积分极限的表示形式而没有给出完全表示也印证了这一点。

而里斯关于L2[a,b]上泛函的表示是后来被称为里斯-费舍尔定理的一个应用,应该说里斯是通过L2[a,b]与l2之间的同构,间接给出了L2[a,b]上泛函的完全表示。从里斯随后关于C[a,b]和Lp[a,b]上泛函表示中的思想和方法来看,其自成一派,与弗雷歇的方法完全相异。但里斯进入到L2[a,b]上泛函表示的研究领域应该是受弗雷歇在此方面工作的影响,因为在此之前里斯的工作并没有涉及到任何泛函表示的问题[1]。

3　贡献与影响

从历史发展的角度来看,显然里斯的泛函表示影响深远。但不可否认,正是因为弗雷歇对阿达玛工作的延续和深入研究,使得泛函表示为里斯等人所熟知,可以说泛函表示理论开创于阿达玛,得到弗雷歇的传承和发扬,由里斯达到极致。

在方法上,虽然弗雷歇没有划时代的突破,但从其相关文献可知,他一直在不断思考泛函表示问题。所考虑(函数)空间的范围摆脱了连续函数空间的限制,他将泛函表示的空间从C[a,b]空间拓展到有界可测函数空间,再到L2[a,b]空间等,为更广泛空间上泛函的表示提供基础。他考虑利用积分来表示泛函的条件,这一探索开启了新的前景,里斯的工作使这一探索变成现实;同时认识到泛函表示的丰富性,在其1904年的文献中,弗雷歇就已经认识可通过非连续函数,甚至勒贝格积分表示C[a,b]上的连续线性泛函;利用泛函来构造函数,这一思想与里斯利用泛函作用在特殊函数上来构造函数的有异曲同工之妙。

里斯在泛函表示方面的工作不仅仅是给出这些抽象概念的解析表示,实现了利用函数(或向量)来表示泛函,更重要的是使用的方法和其中所蕴含的对偶思想为后来汉恩-巴拿赫泛函延拓定理的形成提供了思想;在泛函中渗透了空间思想,为对偶空间理论的建立奠定基础;间接促进了分析学家对自反空间的认识;为对偶算子理论的建立奠定基础。由于里斯思想和方法的深远影响,后人将泛函表示方面的工作统称为里斯表示定理。

4　结　论

由以上分析知,弗雷歇和里斯关于泛函表示的出发点与方法不同。弗雷歇试图对泛函建立与函数类似的理论,给出泛函的解析表示,而里斯在对积分方程的研究中建立了积分方程与泛函表示之间的联系。弗雷歇过分依赖于同时代函数级数的表达形式,所得结果有一定局限,除L2[a,b]上的泛函表示外,其余空间上的表示未摆脱极限束缚;而里斯从泛函与空间的整体思想出发,给出了具体空间上连续线性泛函的完全表示。在泛函表示方面,他们出发点、方法的差异导致其产生的影响和贡献也不尽相同,弗雷歇使泛函表示得以传承和发扬,而里斯使泛函表示成为对偶空间理论的重要部分。二人对同一问题研究风格的不同与其学习和工作经历不无关系。弗雷歇受法国学派与其导师阿达玛的影响,称阿达玛为其“精神之父”,因此弗雷歇更多地是以综合思想为主导,侧重于抽象概念一般理论的建立。而里斯兼具有法国学派的综合思想和德国学派的解析思想,被誉为数学界的外交家,他侧重于具体空间中问题的研究,但在具体问题的研究中又蕴含着深刻的抽象理论,因而被称为泛函分析的奠基者之一。

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(编辑亢小玉)

Comparison and analysis on functional representation of Riesz and Frechet

FENG Li-xia1,2, YUAN Min1

(1.Center for the History of Mathematics and Science, Northwest University, Xi′an 710127, China;2.School of Mathematics and Computer Science, Shanxi Normal University, Linfen 041000， China)

The representation of continuous linear functional is one of the important branches in functional analysis. Both Fréchet and Riesz did important work on representation of continuous linear functional. By literature review and historic analysis, it is to compare and analyze the essential difference from objection, method and influence in their work, outline the internal reason lying in their differences, which furnishes historic background for teaching of functional analysis.

Maurice Fréchet; Frederic Riesz; representation of continuous linear functional

2015-04-11

国家自然科学基金资助项目(11571276,11501444)；陕西省自然科学基金资助项目(2014JM1017)；陕西省教育厅科研计划基金资助项目(15JK1735，11JK0470)；西北大学科学研究基金资助项目(12NW04)

冯丽霞，女，山西闻喜人，西北大学博士生，从事近现代数学史研究。

袁敏，女，陕西西安人，西北大学副教授，从事数学史研究。

N09

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-02-027