一类矩阵方程对称解的可信误差界

桑海风，李梓毓，李庆春，崔　莹

(1.北华大学数学与统计学院，吉林 吉林　132013；2.上海海事大学经济管理学院，上海　201306)



一类矩阵方程对称解的可信误差界

桑海风1，李梓毓2，李庆春1，崔莹1

(1.北华大学数学与统计学院，吉林 吉林132013；2.上海海事大学经济管理学院，上海201306)

利用区间分析理论，研究了矩阵方程AXB+BXA=C对称解的可信验证.提出了一种算法，该算法输出一个近似对称解及其相应的可信误差界，使得在近似解的误差范围内必定存在该方程的一个精确对称解.

可信误差界；矩阵方程；对称解；INTLAB

【引用格式】桑海风，李梓毓，李庆春，等.一类矩阵方程对称解的可信误差界[J].北华大学学报(自然科学版)，2016，17(5)：581-584.

1　引　　言

在火箭喷口受力、核磁共振机设计等高风险应用领域，计算结果的准确性是至关重要的.而由于实数的有限精度表示、计算误差积累等，导致计算的不准确性无处不在.对于关键的问题，微小计算误差的积累可能会导致计算结果质变，从而可能引发重大事故[1].因此，研究可信验证问题具有重要的理论意义和较高的实用价值.

本文研究矩阵方程

AXB+BXA=C

(1)

对称解的可信验证问题，其中A，B，X，C∈n×n.矩阵方程(1) 可写成如下线性方程组：

Px=c，P=BT⊗A+AT⊗B，x=vec(X)，c=vec(C)，

(2)

这里⊗表示Kronecker积，vec表示拉直算子[2].

利用INTLAB[3]软件包中的verifylss函数，能够验证线性系统(2)的解，输出一个可信区间向量x，再利用反拉直算子，进而得到包含矩阵算子方程(1)解的一个可信区间矩阵X.然而上述方法的计算量非常巨大.为了提高计算效率，降低验证时间，本文利用区间算法理论，研究了矩阵方程(1)中心对称解的可信验证，给出了一种可信验证算法.该算法输出矩阵方程(1)的一个近似对称解及其相应的可信误差界，使得在近似解的误差界范围内必定存在一个精确对称解.本文推广了文献[4-5]中Sylvester矩阵方程AX+XB=C解的可信验证方法.

2　预备知识

引理1[6]设矩阵A，T∈n×n，向量b∈n，区间向量x∈n，为线性系统Ax=b的近似解.如果区间判定条件

实现线性方程组解的可信验证函数是INTLAB中的verifylss 函数[3].

引理2[7]给定区间矩阵A∈n×n和区间向量b∈n，如果函数verifylss运行成功，那么该函数计算得到的区间向量x⊂n满足

Σ(A，b)={x∈n：Ax=b，A∈A，b∈b}∈x.

3　主要结果

本文假设下面的条件成立：

(H1)方程(1)存在唯一对称解.

(H2)A，B均可对角化.对A，B进行谱分解：

A=VADAWA，其中DA=diag(λ1，λ2，…，λn)，VA·WA=In，

(3)

B=VBDBWB，其中DB=diag(μ1，μ2，…，μn)，VB·WB=In.

(4)

(H3)VA=VB，WA=WB.

为叙述方便，记V=VA=VB，W=WA=WB.令

P=(V-T⊗W-1)[(V-TBV)T⊗(WAW-1)+(V-1AV)T⊗(WBW-1)](VT⊗W).

记

进而可将线性系统(2)化成

Qy=f.

(5)

令

SW=(WA)IW，SV=IV(BV)，

其中，IW为包含W-1的区间矩阵，IV为包含V-1的区间矩阵.定义

则对角阵Δ为非常接近Q的一个近似矩阵.

M=(DA-SW)Z(V-1BV)，

N=(WBW-1)Z(DB-SV)，

U=(-T+M+N)./D，

基于文献[8]的理论和定理1，设计算法如下：

算法1

输入：1.AXB+BXA=C：满足(H1)～(H3)的矩阵方程.

2.X0：初始矩阵.

3.X1：随机对称矩阵.

4.ε：数值容差.

5.N：最大迭代次数.

2.“失败”.

1)计算

3) 计算

4) 跳至步骤2).

5) 计算谱分解式(3)和式(4)中的VA，DA，WA，VB，DB，WB.如果VA=VB且WA=WB，执行步骤6)，否则“失败”，算法终止.

6) 输入D∈n×n使得D：， j=diag(Δ)(n·j+1)：n·(j+1).

7) 利用verifylss函数，计算区间矩阵IW，IV使得WA∈IW，VB∈IV.

8) 计算区间矩阵

9)令iter=0.

9.1) 若iter≤15，则执行下述步骤.否则返回“失败”，算法终止.

9.2) 令iter=iter+1，Z=hull(U·infsup(0.9，1.1)+10-20·infsup(-1，1)，0).

9.3) 计算

M=(DA-SW)·Z，N=Z·(DB-SV)，U=(-T+M+N)./D.

由定理1，可得下述命题：

4　数值算例

下面的数值实验基于Windows 7 操作系统，软件是Matlab R2011a (INTLAB V6).对下面例子，执行上述算法1，可计算出矩阵方程AXB+BXA=C的近似对称解、相应的误差界及可信对称区间解.

例1 考虑矩阵方程AXB+BXA=C的可信对称区间解，其中

输出：

[1]EssexC，DavisonM，SchulzkyC.Numericalmonsters[J].ACMSIGSAMBulletin，2000，34(4)：16-32.

[2]RAHorn，CRJohnson.Topicsinmatrixanalysis[M].Cambridge：CambridgeUniversityPress，1994.

[3]RumpSM.INTLAB-intervallaboratory//developmentsinreliablecomputing[M].Dordrecht：KluwerAcademicPublishers，1999：77-104.

[4]FrommerA，HashemiB.VerifiederrorboundsforsolutionsofSylvestermatrixequations[J].LinearAlgebraandItsApplications，2012，436(2)：405-420.

[5]SangH，LiZ，CuiY，et al.AverifiedalgorithmforthecentrosymmetricsolutionofSylvestermatrixequations[M].BerlinHeidelberg：Springer，2015：342-349.

[6]RumpSM.Verificationmethods：Rigorousresultsusingfloating-pointarithmetic[J].ActaNumerica，2010，19：287-449.

[7]RumpSM.Kleinefehlerschrankenbeimatrixproblemen[D].Karlsruhe：UniversitatKarlsruhe，1980.

[8] 周海林.矩阵方程AXB+CXD=F对称解的迭代算法[J].计算数学，2010，32(4)：413-422.

【责任编辑：伍林】

Verified Error Bounds for a Symmetric Solution of Matrix Equation

Sang Haifeng1，Li Ziyu2，Li Qingchun1，Cui Ying1

(1.Mathematics and Statistics School of Beihua University，Jilin 132013，China；2.College of Economics and Management，Shanghai Maritime University，Shanghai 201306，China)

TheverifiederrorboundforsymmetricsolutionsofmatrixequationAXB+BXA=Cisstudied.Usingtheintervalanalysistheory，wepresentanalgorithmtocomputeanapproximatesolutionanditsnarrowerrorboundthatanexactsolutionexistswithinthiscomputedbounds.

verifiederrorbound；matrixequation；symmetricsolution；INTLAB

1009-4822(2016)05-0581-04

10.11713/j.issn.1009-4822.2016.05.005

2016-01-10

国家自然科学基金项目(11171133)；吉林省教育厅科学技术研究项目(2015131；2015156).

桑海风(1982-)，男，博士，讲师，主要从事计算机代数与可信验证研究，E-mail:sanghaifeng2008@163.com；

李庆春(1959-)，男，博士，教授，主要从事矩阵理论与数值计算研究，E-mail:liqingchun01@163.com.

O242.29

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