考虑油膜不确定性的滑动轴承-转子系统不平衡量识别

毛文贵， 李建华， 刘桂萍， 刘　杰

(1.湖南工程学院 机械工程学院，湖南省风电装备与电能变换协同创新中心，湖南 湘潭　411101；2. 湖南大学 机械与运载工程学院,长沙　410082)



考虑油膜不确定性的滑动轴承-转子系统不平衡量识别

毛文贵1,2， 李建华1， 刘桂萍2， 刘杰2

(1.湖南工程学院 机械工程学院，湖南省风电装备与电能变换协同创新中心，湖南 湘潭411101；2. 湖南大学 机械与运载工程学院,长沙410082)

针对滑动轴承-转子系统不平衡量识别过程中滑动轴承油膜特性系数的不确定性，提出了考虑油膜不确定性的转子系统不平衡量的识别方法。该方法考虑滑动轴承油膜特性系数为不确定因素，基于区间数学理论和一阶泰勒级数展开式的区间法将具有不确定性结构的不平衡量识别问题转化为两类确定性结构的不平衡量识别问题；对于确定性结构的不平衡量识别问题根据滑动轴承-转子系统运行时不平衡量是以不平衡力的形式作用于主轴上，提出将不平衡力在时域内用一系列的脉冲函数来表示，利用滑动轴承-转子系统的瞬态响应分析方法来构建正问题，结合正则化方法处理不平衡量识别中的病态问题，获得转子系统不平衡量的上边界和下边界。通过一转子实验台检验了不平衡量识别方法的有效性和鲁棒性。

滑动轴承-转子系统;不平衡量识别;不确定性;油膜特性系数;区间法

滑动轴承-转子系统在高档数控机床中得到了广泛地应用。滑动轴承油膜特性系数、主轴系统不平衡量等动力学关键特性参数与滑动轴承-转子系统响应之间存在着非常复杂的关系，直接影响着机床的加工精度。但对于主轴而言，由于制造、安装误差以及材料的不均匀性等因素，不平衡量的存在是必然的。在滑动轴承-转子系统中，不平衡量按照一定的标准分成不同的等级，并给出具体的动载荷表达形式，但由于结构本身的动力特性是设计变量或控制参数的非线性函数，存在对动载荷的敏感性。因此，规范或标准中的设定载荷模式与结构所受的实际的动态载荷有偏差时，进行结构的动力特性分析和优化设计就可能与实际情况存在较大的偏差。在未能给出不平衡量的确切值时，会给滑动轴承-转子系统的动力特性优化设计和健康监测与故障诊断等问题的研究带有一定的盲目性。因此，不平衡量的准确获取能为这些问题的研究提供确切的载荷条件，对结构的安全性和可靠性设计具有重要的实际意义。了解不平衡量对滑动轴承-转子系统响应的影响，准确识别不平衡量，是实现滑动轴承-转子系统动平衡和动态性能优化，降低回转精度的关键。

然而由于加工条件和测试环境等一些复杂因素的影响，不平衡量的大小很难直接测量。而滑动轴承-转子系统动力学响应(位移、速度和加速度等)的测量相对容易和准确些，所以利用测量的响应对不平衡量识别的研究是非常必要的。刘淑莲等[1]基于全息谱分析的非线性转子系统不平衡量识别，通过傅里叶展开和全息谱技术将油膜力和不平衡量的工频的周期力分开来获得转子工作转速下的不平衡量。同时随着计算机技术的发展，人们也开始在不平衡量识别中注入遗传算法、神经网络和计算反求技术。利用不同的激励通过实验与理论计算来间接获得剩余不平衡量[2-4]。TIWARI等[5]利用脉冲和不平衡响应同时识别多自由度柔性转子-轴承系统的剩余不平衡量和油膜特性系数。不平衡量在滑动轴承-转子系统运行时以力的形式作用在主轴结构上，因此，不平衡量识别可转化为不平衡力识别问题来研究[6]。而利用测量的响应进行载荷求解的动载荷识别技术正日益成为工程实际中动载荷获取的不可或缺的一种重要手段，对其研究在轴承-转子系统的动平衡控制、故障诊断和检测等诸多技术领域都有广泛的应用前景[7-8]。载荷识别问题作为结构动力学的第二类反问题，国内外的研究虽然取得了一定的成果[9-10]，但上述方法识别不平衡量时一般都假定系统模型是确定的。然而滑动轴承-转子系统的不平衡量直接影响滑动轴承的油膜特性。理论上不平衡量变化时，滑动轴承轴颈处的作用力会发生变化，轴颈中心移动，从而油膜特性系数会发生变化。即滑动轴承-转子系统不平衡量识别所对应的结构具有不确定性。因此，研究滑动轴承-转子系统不确定结构的不平衡量识别问题，正确客观地估计和评价油膜不确定性因素对不平衡量识别反问题解的存在性、唯一性、稳定性等的影响，在学术研究上具有一定的理论研究价值。同时，如果能从区间角度对油膜不确定性进行度量，在此基础上再进行不平衡量识别，则有望能在综合考虑不确定性影响因素下给出滑动轴承-转子系统所受不平衡量的统计特性的上、下边界，这能更加合理地评价结构的不平衡量，为滑动轴承-转子系统的动平衡研究提供可靠的输入条件。基于区间方法[11]提出一种基于区间的滑动轴承-转子系统不平衡量识别方法，考虑滑动轴承油膜特性系数为不确定变量时对不平衡量识别结果的影响。

1　不平衡量识别问题的描述

本文提出的滑动轴承-转子系统不平衡量的识别是在滑动轴承-转子系统瞬态响应分析的基础上进行的。滑动轴承-转子系统的瞬态响应方程见式(1)。

(1)

式中：q为转子轴心位移；阻尼矩阵C包含了滑动轴承的阻尼系数CB；刚度矩阵K包含了滑动轴承的刚度系数KB；M为质量矩阵。力矩阵F由质心偏离几何中心而产生的不平衡力组成。

即由可测知的滑动轴承-转子系统瞬态响应，结合式(1)的瞬态响应方程，建立包括不确定油膜特性系数的不平衡量识别方程。当滑动轴承-转子系统的滑动轴承油膜刚度和阻尼系数通过有限变分法[12]计算，而转子轴心位移通过测量获取，则式(1)中只有右边的不平衡力是未知数。而不平衡力也可由式(2)表示。

A=mrω2

(2)

式中：t为时间；ω为角速度；A为不平衡量幅值；φ为不平衡量相位。m为不平衡质量；r为不平衡质量距轴中心的距离;fx,fy为不平衡力在x，y两方向的分力。

由式(2)可知，根据不平衡力fx,fy可获得不平衡量幅值A和相位φ，从而可以识别出不平衡量。

但滑动轴承油膜刚度和阻尼系数计算时，其大小与作用在轴颈上的外力有关，而滑动轴承-转子系统的不平衡量大小会影响作用在轴颈上的外力，从而影响滑动轴承油膜刚度和阻尼系数的大小。即滑动轴承-转子系统不平衡量识别时，滑动轴承油膜特性系数具有不确定性。因此，滑动轴承-转子系统不平衡量识别是具有不确定性结构的不平衡量识别问题。

2　不确定性结构的不平衡量识别方法

2.1考虑油膜特性系数不确定性区间法

目前对不确定变量的描述方法主要有区间法和概率法[13-16]，依据概率法进行不平衡量识别时，本案例中构建滑动轴承油膜特性系数的概率密度函数需要大量的样本数据，这在实际中不太现实。而根据经验，滑动轴承油膜特性系数大概的区间范围还是可以确定的。因此，采用区间法，并基于一阶泰勒级数展开式的区间法将具有滑动轴承油膜特性系数为不确定变量的滑动轴承-转子系统的不平衡量识别方法转化为滑动轴承-转子系统中两类滑动轴承油膜特性系数为确定变量的不平衡量识别问题，即不确定变量中点处的不平衡量识别和不平衡量对于油膜不确定性变量的梯度的识别。

以脉冲信号作为单元信号，将不平衡量表现的不平衡力在时域里表示为一系列脉冲函数的叠加。对于一个线性系统，在连续时间域内当只受单个不平衡力时，滑动轴承-转子系统的瞬态响应能表示成式(3)所示的卷积分形式。

(3)

式中：q(t)为测点z处的瞬态响应(位移、速度或加速度等);f(t)为作用在滑动轴承-转子系统上的不平衡力的时间历程;g(t)为相应的由不平衡力作用点到瞬态响应测点的Green函数。

当考虑不确定变量时，滑动轴承-转子系统的瞬态响应方程式(3)变为式(4)：

(4)

式中：λ为滑动轴承-转子系统中的不确定变量;核函数g(t,λ)为包容不确定变量λ的集合，因此，不平衡力不再是一个解，而是一个解集。基于区间分析方法，基于测量瞬态响应的不确定性结构的不平衡力对于任一时刻不再是实数，而是一个与不确定变量一一对应的有界区间，即：

f(t,λ)∈fI(t)=[fI(t),fR(t)]

(5)

式中：fI(t)为t时刻的不平衡力区间;其下边界fL(t)和上边界fR(t)为t时刻的不平衡力集合中的极小与极大值，表达如式(6)。

(6)

实际工程中关心的往往是这个解集的上下边界，并不需要求解出所有的可能值。不确定变量的下边界λL和上边界λR可以用区间的中点λc和半径λw来描述，即

λ∈λI=[λI,λR]=[λc-λw,λc+λw],

(7)

不确定变量λ也可用下式描述：

λ=λc+δλ,δλ∈[-1，1]λw,

(8)

引入区间不确定性水平：

(9)

当不确定性水平较小时，将不平衡力在中点处进行一阶泰勒级数展开，获得式(10)如下

f(t,λ)=f(t,λc+δλ)≈

(10)

因此，在t时刻不平衡力上边界fR(t)及下边界fL(t)可显式表达为:

(11)

(12)

2.2确定性结构的不平衡量识别

当结构的参数是确定时，确定性结构的滑动轴承-转子系统的瞬态响应式(3)在时间域内用M个等间隔的采样点进行离散，可转化为方程式(13)所示的线性方程组。

(13)

用矩阵表达为式(14)。

q=G·F

(14)

式中：q为在时间域内对应的结构瞬态响应;G为Green函数;F为待识别的不平衡力。

对于多个不平衡力作用时，可以用同单个不平衡力作用时一样的方法，并离散化为线性方程组形式。由于线性系统满足叠加原理，可将多个不平衡力作用时的表达式转化为式(15)的矩阵形式。

式(15)中N表示不平衡力的个数，对于多个不平衡力的识别，要求滑动轴承-转子系统瞬态响应测点的个数不应小于不平衡力的个数，同时需要预先通过计算或实验的方法得到各个不平衡力Fi到滑动轴承-转子系统瞬态响应各测点qj之间相应的Green核函数矩阵Gij. 在瞬态响应矩阵q和核函数矩阵G已知的情况下，计算不平衡力矩阵F。结合式(2)可识别出多个不平衡量。

(15)

2.3正则化

在线性时不变假设下，时域内不平衡力可表示为一系列脉冲激励核函数的叠加，而系统的响应能够通过核函数的响应和不平衡力的卷积分得到。通过离散化卷积分，可以建立不平衡量识别的正向模型。滑动轴承-转子系统中由于滑动轴承油膜的非线性使得不平衡量识别问题往往是不适定的和非线性的[17-18]。同时，通过实验获取的响应数据不可避免的存在测量噪声，可能会使识别的不平衡量严重偏离真实解。不平衡量识别问题是不适定的。正则化方法能够有效克服载荷识别过程中的病态性。只有不平衡量识别的稳定性满足，反求的不平衡量才有实际意义。

当测量的响应数据中有误差或噪声时，引入正则化方法[19-21]，为了分析不平衡量识别过程中解的稳定性，需要考虑观测数据中误差或噪声，所以将式(14)可以改写成如下形式。

qδ=G·F+δ

(16)

式中:qδ为包含有噪声的结构瞬态响应;F为理论上正确的不平衡力；δ为测量的瞬态响应所包含的噪声。

然后，对核函数G进行如式(17)所示的奇异值分解(Singular Value Decom-Position,SVD)。

(17)

式中：U=[u1,u2,…,uk] 为G的左奇异向量和V=[v1,v2,…,vk] 为G的右奇异向量，是两个标准化正交矩阵，Ω=diag(σi)为含有非负奇异值的对角矩阵。如果矩阵G的逆存在，利用式(17)可得估计的不平衡力F为[22-23]。

(19)

当滤波函数f(α,σi)采用如式(20) 滤波算子[24]为：

(20)

式(19)化为：

(GTG+αI)-1GTqδ

(21)

至此，结合式(21)和式(2)考虑噪声的滑动轴承-转子系统的不平衡量可稳定识别。通过区间法可将考虑不确定性结构的不平衡量识别问题转化为考虑确定性结构的不平衡量识别问题。通过正则化方法处理测量中的噪声引起的不平衡量识别的病态问题。将不平衡力在时域内用一系列的脉冲函数来表示，结合正则化方法稳定实现这两类确定性变量的不平衡量识别问题的求解，并利用区间运算方法实现具有不确定性变量的滑动轴承-转子系统的不平衡量上下边界的确定。滑动轴承-转子系统不确定性结构的不平衡量识别流程见图1。

为避免识别问题的病态性，经常增加测点的数目(测点数不小于待识别参数的个数)或选择对待识别参数变化敏感的测点，即选择相关性强的测点。后者测试成本较低。本文用数值仿真模拟寻找不平衡量识别相关性强的测点。确定性结构的不平衡量识别的具体步骤如下：

(1) 根据滑动轴承-转子系统实际情况，确定不平衡量的位置和数量，运用数值计算方法选择强相关性响应测点的种类、位置和数量。建立滑动轴承-转子系统的瞬态响应分析模型，施加不平衡量分析滑动轴承-转子系统的瞬态响应，找到响应位移与所加不平衡量点有相关性强的响应测点，且响应测点的个数不能少于不平衡量的个数。

(2) 根据得到的响应测点，对要进行不平衡量识别的转子实验台布置测试响应的传感器。通过转子实验台瞬态响应实验测量上述测点处的动态响应qδ。

(3) 用滑动轴承-转子系统瞬态响应方法求解不平衡量作用点到响应测点的核函数响应，并建立核函数矩阵G。

图1　滑动轴承-转子系统不确定性结构的不平衡量识别流程Fig.1　The identification method for the unbalance parameters of a rotor-bearing system

(4) 采用经典的正则化方法选择TiKhonov或截断奇异值分解(Truncated SVD,TSVD)等正则化算子f(α,σ),利用广义交叉验证(Generalized Cross-Validation,GCV)准则或L曲线方法确定合适的正则化参数α，将病态的核函数矩阵进行修正，记修正的核矩阵为Gα。

(6) 采用共轭梯度的LSQR方法进行迭代求解，从而获得待识别的不平衡量，其中最佳的迭代次数可通过L曲线法来确定。

(7) 依据识别的实验台的不平衡量对实验台进行动平衡，比较实验台测点在动平衡前后的瞬态响应振幅大小来检验不平衡量识别结果。

3　应用实例

工程实际中对转子进行动平衡时先要识别转子不平衡量。动平衡的效果取决于不平衡量识别结果。本节用本文提出的滑动轴承-转子系统不平衡量识别方法应用于转子实验台的动平衡。

3.1实验台的瞬态响应分析

图2为北京东方振动和噪声技术研究所研制的实验台，由0～10 000 r/min直流电机驱动，由电机调速器数显转速，键相轴套产生键相信号，油膜滑动轴承2套，由油杯注油，圆盘直径为80 mm,宽度为15 mm。转轴为等截面轴，直径为10 mm，轴长490.0 mm，转子材料的密度为7 850 kg/m3，弹性模量为210 GPa，剪切弹性模量为80 GPa，转速设计为2 000 r/min，滑动轴承为圆柱轴承属于各向异性轴承，每个滑动轴承有8个油膜特性系数Kxx，Kxy，Kyx，Kyy，Cxx，Cxy，Cyx，Cyy左右两个滑动轴承共有16个油膜特性系数，其油膜特性系数如表1。圆盘直径60 mm处沿周向分布16个孔，可配置螺钉来人为设置不平衡质量，用光电传感器测转速，电涡流传感器测位移。INV1612型转子实验台，配合INV306U采集系统及INV1612 型多功能柔性转子实验系统软件的可完成滑动轴承-转子系统的瞬态响应实验。

在转速为2 000 r/min的情况下，通过涡流传感器测得两测点的位移瞬态响应见图3。

图2　INV-1612型转子实验台Fig.2　The test rig of INV-1612

表1　滑动轴承油膜刚度和阻尼系数

图3　转子实验台的位移响应Fig.3　Displacement responses of the test rig

3.2不考虑不确定变量的实验台不平衡量识别结果

针对测试的位移响应，用本文的滑动轴承-转子系统不平衡量识别方法识别出实验台的不平衡量的力的表现形式见图4，不平衡力一周期为0.03 s，可知与转子的转速是吻合的。由图4结合式(2)可获得不平衡量在实验台圆盘30 mm半径处，质量为 1.232 1 g，相位为46.035 2°。

利用上述识别的不平衡量对实验台进行动平衡处理，对完成动平衡以后的实验台测试瞬态响应来评价动平衡效果。在主轴圆盘30 mm半径处，加一大小与识别的不平衡量质量相同，施加的角度方向与识别出的相位角方向相反。即由识别出的相位角上减去180°或者加上180°获得不平衡质量施加的角度，类似于在动平衡圆盘上施加一个与识别不平衡量大小相等，方向相反的力。运行施加了不平衡量的转子实验台，测试其瞬态响应，并进行配重前后瞬态响应对比。将测得的瞬态响应与动平衡前进行比较。从图5和表2可知，测点在动平衡前后的振动幅度有了很大的下降，从而动平衡的效果比较好。

图4　转子实验台上的识别的不平衡力Fig.4　The identified unbalance forces of the test rig

图5　两测点动平衡前后的瞬态响应比较Fig.5　Experimental unbalance responses: before and after the balancing procedure

表2　动平衡前后的振幅结果比较

3.3考虑不确定变量的实验台不平衡量识别

前面实验台中识别不平衡量是假设滑动轴承油膜特性系数是一固定值，与不平衡量的大小无关，而实际上不平衡量的大小影响作用在轴颈处的力的大小，而此力影响滑动轴承油膜特性系数。本节考虑滑动轴承油膜特性系数为不确定变量时对不平衡量识别结果的影响。

滑动轴承油膜刚度系数kyx,阻尼系数cxx,cxy,cyx因不平衡量幅值的变化而变化，受不平衡量的影响较大，故选定前轴承油膜刚度系数kyx,阻尼系数cxx,cxy,cyx为不确定变量。其中点值和5%的不确定性水平下的区间见表3。不平衡量对应不确定变量kyx,cxx,cxy,cyx的一阶偏导数通过确定性不平衡量识别方法和中心差分有限元方法获得，图6～图9显示其对应的敏感度关系曲线，由图可知不平衡量对于kyx,cxx,cxy,cyx都比较敏感。

表3　不确定变量的中点和区间

图6　不平衡力关于刚度系数kyx的敏感度曲线Fig.6　The sensitivity curve of the unbalance force to stiffness coefficient kyx

图7　不平衡力关于阻尼系数cxx的敏感度曲线Fig.7　The sensitivity curve of the unbalance force to damping coefficient cxx

图8　不平衡力关于阻尼系数cyx的敏感度曲线Fig.8　The sensitivity curve of the unbalance force to damping coefficient cyx

图9　不平衡力关于阻尼系数cxy的敏感度曲线Fig. 9 The sensitivity curve of the unbalance force to damping coefficient cxy

利用不平衡量识别不确定性变量中点处的不平衡量、敏感度曲线和式(14)和式(15)，采用区间法计算可得到不平衡量在5%不确定性水平下的上下边界，如图10所示，图10中显示不确定变量对滑动轴承-转子系统两径向方向x，y的瞬态响应，由图10可知不确定变量对x向的不平衡量影响较大。

图10　5%不确定性下不平衡力识别的边界Fig.10　The bounds of the identified unbalance force at 5% uncertainty level

考虑滑动轴承油膜特性系数受不平衡量的大小的影响，基于不确定变量的不平衡量识别获得滑动轴承-转子系统的不平衡量的区间如表4。当滑动轴承油膜特性系数在一定范围变化时，识别的不平衡量也在一定范围里变化。当缺少滑动轴承-转子系统样本和滑动轴承油膜特性系数统计数据时,使用区间分析方法进行滑动轴承-转子系统的不平衡量分析是较为准确的，是十分必要的。

表4　基于区间方法的实验台不平衡量识别结果

4　结　论

本文提出一种滑动轴承-转子系统中不平衡量识别的方法。针对实际的滑动轴承-转子系统中，在不平衡量识别过程中，滑动轴承油膜特性系数的取值对不平衡量的识别结果是有影响的。取滑动轴承的刚度系数kyx,阻尼系数cxx,cxy,cyx这四个值作为不确定变量，基于区间方法提出一种基于区间的不确定变量的不平衡量识别方法。基于一阶泰勒级数展开式的区间法将具有不确定变量的结构的不平衡量识别方法转化为两类确定变量的不平衡量识别问题，并通过正则化方法处理不平衡量识别中的病态问题，从而获得滑动轴承-转子系统不平衡量的上下边界。最后运用本文方法获得转子实验台的不平衡量，动平衡转子实验台，比较动平衡前后的位移幅值大小来检验此方法的有效性。

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Unbalance parameters identification for a sliding bearing-rotor system considering the uncertainty of parameters

MAO Wengui1,2, LI Jianhua1, LIU Guiping2, LI Jie2

(1. Hunan Province Cooperative Innovation Center for Wind Power Equipment and Energy Conversion, College of Mechanical Engineering, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411101, China;2. College of Mechanical and Vehicle Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

An identification method considering the uncertainty of the dynamic parameters of bearings in a sliding bearing-rotor system was presented to identify the unbalance parameters of the system. In the method, the unbalance parameters identification was transformed into two deterministic inverse problems by using the interval analysis with the first order Taylor series expansion. Then, the unbalance forces, used as the unblance parameters, were expressed as a series of impulse functions in time domain and the discretized convolution integral of unbalance forces and the corresponding transient response functions of the sliding bearing-rotor system were adopted to construct a forward model. A regularization method was introduced to deal with the ill-posedness arising from the deconvolution and noisy responses, and then the upper and lower bounds of the unbalance parameters were easily obtained through the interval expanding operation. The efficiency and robustness of the proposed method were verified on a test rig.

sliding bearing-rotor systems; unbalance parameters identification; uncertainty; bearing dynamic parameters; interval analysis

高等学校博士学科点专项科研基金(20130161130001); 湖南省自然科学基金资助项目(2016JJ6026 )；湖南省教育厅资助科研项目(15B057);常州市科技支撑计划(CE20140027)

2015-10-20修改稿收到日期：2016-05-09

毛文贵 女，博士，副教授，1975年生

TH113.1;O322

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.18.035