随机环境中具有迁移的分枝过程的极限性质

任敏，张光辉，李茹

（宿州学院数学与统计学院，安徽宿州234000）

随机环境中具有迁移的分枝过程的极限性质

任敏，张光辉，李茹

（宿州学院数学与统计学院，安徽宿州234000）

在均值有限的条件下，文章证明随机环境中具有迁移的分枝过程对应的规范化过程的收敛性，并讨论其收敛速率.

分枝过程；迁移；收敛速率；几乎处处收敛

0 引言

Sevastyanov首先引入带迁移的分枝过程，此后许多学者对其做了深入研究，取得诸多深刻的成果，如文献［1］讨论带迁入的分枝过程的极限性质；文献［2］给出随机环境中具有迁移的分枝过程，并讨论该过程的马氏性、条件期望、条件概率母函数和各代迁移粒子数和各代单个粒子产生后代数的条件期望性质.文献［3］研究带迁入分枝过程的极限性质，在方差和期望均有限的条件下，得到其规范化过程的收敛性.文献［4］研究带迁出分枝过程的极限性质，文献［5］研究随机环境中的受控分枝过程的极限性质.但目前没有研究带迁移的分枝过程的极限的文献报道.本文研究了带迁移的分枝过程规范化过程的极限性质及其收敛速率.

1 模型介绍

设（Ω，F，P）是概率空间，（Θ，Σ）是可测空间，N+表示正整数集，N表示整数集.对任意固定的θ∈Θ，｛pj（θ）；j∈N+｝和｛bj（θ）；j∈N+｝是两个概率分布列，ξ=｛ξn，n≥0｝是定义在（Ω，F，P）上的取值于（Θ，Σ）的随机序列.

定义1称｛Zn，n≥0｝为随机环境ξ中具有迁移的分枝过程，若Z0=K0=1.

其中Zn表示第n代粒子总数，Xn，i表示第n代第i个粒子产生后代数，Kn+1表示第n+1代迁移粒子数，给定环境ξ，｛Xn，i，i≥1，n≥0｝条件独立同分布，其条件概率母函数为

｛Kn，n=1，2，…｝条件独立，其条件概率母函数

且给定环境ξ，｛Kn，n≥1｝与｛Xn，i，i≥1，n≥0｝条件独立.

2 主要结论

证明由定义1，及第n代第i个粒子产生后代数Xn，i不依赖于第n代粒子总数Zn，于是有

证明因为

当un+1≥0时，因为E｛Wn+1|Fn｝≥Wn，所以｛Wn+1，Fn｝是一非负下鞅.

引理2设m＞2且|un|≤m，则对任意的n≥1，有EZn≤mn+2.

证明由引理1知因为m＞2且|un|≤m，所以有

引理3［6］设｛an｝n≥0为实数序列，且an≥0，an↑∞

引理4［7］设｛αn，βn｝n≥0为非负平稳遍历随机变量序列，若Elogα0＜0，且Elog+β0＜∞，则

则W-Wn→）a.s.收敛.

记

则

因为

因此只要证明右边三个级数的a.s.收敛性.由于xg（x）和g（x）在［0，∞）是增函数，所以有

由（1）式可得

由Borel-Cantelli引理可得

于是有

由假设知

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［2］胡杨利，艾俊勇，刘全升.随机环境中具有迁移的分枝过程［J］.湘潭大学（自然科学学报），2009，31（3）：18-22.

［3］孙卫，刘伟，李德如.随机环境中迁入分枝过程的极限性质［J］.数学理论与应用，2013，33（4）：1-5.

［4］李新花，李德如，潘生.上临界迁出分枝过程的收敛速率［J］.数学理论与应用，2014，34（4）：55-60.

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Limit Properties for Branching Process with Migration in Random Environments

REN Min，ZHANG Guanghui，LI Ru
（School of Mathematics and Statistics，Suzhou College，234000，Suzhou，Anhui，China）

In this paper，the convergence of the normalized process of branching process with migration is proved，and the convergence rate is further studied assuming that the process has finite mean.

branching process；migration；convergence rate；almost everywhere convergence

O 211.65

A

2095-0691（2016）03-0007-05

2016-04-26

国家自然科学基金面上项目（11371029）；安徽省高校自然科学研究项目（KJ2016A770）；安徽省优秀青年人才支持计划重点项目（gxyqZD2016340）；宿州学院教学研究项目（szxy2015jy09）；安徽省大学生创新创业训练项目（201310379050）

任敏（1982-），女，安徽淮北人，讲师，研究方向：随机环境中的随机过程.