具有高阶转向点的二次Dirichlet问题的尖层解

杜冬青，杜香寒，董海燕

（1.江苏联合职业技术学院徐州财经分院基础部，江苏徐州221000；2.合肥江航飞机装备有限公司，安徽合肥240051；3.合肥学院基础教学与实验中心，安徽合肥230601）

具有高阶转向点的二次Dirichlet问题的尖层解

杜冬青1，杜香寒2，董海燕3

（1.江苏联合职业技术学院徐州财经分院基础部，江苏徐州221000；2.合肥江航飞机装备有限公司，安徽合肥240051；3.合肥学院基础教学与实验中心，安徽合肥230601）

文章采用合成展开法和微分不等式理论，对一类具有高阶转向点的二次Dirichlet问题进行研究，通过构造二次奇摄动边值问题的零次形式近似式得出高阶转向点的Dirichlet问题具有尖层解，运用微分不等式理论进一步证明若函数满足连续可微等条件，则二次Dirichlet问题的解是存在的，由连续函数的介值定理证明问题的解x（t，ε）在t=0处具有尖层性质.

边值问题；尖层解；微分不等式；奇摄动；合成展开法

0 引言

转向点理论是以奇异方式依赖于参数的微分方程渐近理论的一个分支.借助于“比较方程”，通过引入“伸展”变换，将“内解”与“外解”进行“匹配”，在全区间给出解的渐近表达式，从而解决了解在转向点的“关联问题”.在奇摄动内层问题的研究中，O′Malley［1］运用相平面分析方法探究了半线性自治问题

具有尖层性质的解（简称尖层解）的存在性，Kath［2］把文献［1］中半线性自治问题的结论推至到非自治问题，与此同时还解释了解具有尖层性质的定性特征.在对此类经典知识学习的基础上，本文讨论了更为广泛的奇摄动边值问题，推广并改进文献［3-4］的一些相关结果.

1 形式渐进解的构造

其中ε＞0是小参数，a，b（a＜0＜b）和A，B是常数.其相应的退化问题分别为

和

假设

［H1］存在函数uL（t）∈C2［a，0］和uR（t）∈C2［0，b］分别满足退化问题（3）和（4）使得uL（0）=uR（0）且u′L（0-）=u′R（0+）；

本文讨论如下形式的二次奇摄动边值问题

［H2］）满足即t=0是n阶转向点.

由假设［H1］知，其解u0=uL（t）满足退化问题（3）.类似地，u0=uR（t）满足退化问题（4）.由于，故可取作为该问题外部解的零次近似.再在t=0附近将U（t，ε）代入式（1）和u（a，ε）=A并令ε0的系数相等得到引入伸展变量，构造尖层校正项将U（t，ε）+V（ξ，ε）代人式（1）得到

注意到t=0是n阶转向点，（5）式中令ε0的系数相等可得

其中g~（v）=g（0，u（0）+v）-g（0，u（0）.

因为尖峰被假设在t=0，v（ξ）必须满足条件

和

其中c≠0为某常数.从（6），（8）两式推出

再利用（7）的第二式v′（0）=0，便得

仍由尖层校正项的性质可知，当v（0）＞0时应有ξv′（ξ）＜0（ξ≠0）；而v（0）＜0时应有ξv′（ξ）＞0（ξ≠0）.因此总有

由（9）式推出，当0＜v＜v（0）时，v=v（ξ）可隐式地表示为

当v（0）＜v＜0时，v=v（ξ）可隐式地表示为

可知

为了说明v（0）=c≠0（不失一般性，设c＞0），我们需要验证

满足条件的成立性.注意到g~（0）=0，从（10）和（11）式推出

故存在0＜w1＜v（0）使得g~（w1）=0，g~在w1处改变符号且在w1＜w＜v（0）上g~（w）＞0.因此，若g~（v（0））=0，则选取w2=v（0），若g~（v（0）＞0，可将函数g~（v）延拓到区间［0，w2］（w2＞v（0）.延拓后的函数仍记作g~（v），使得在于是由所以满足条件.令φ（ξ）=w（r），其中和ρ由引理给出，则于是

利用φ关于ξ=0的对称性可知φ（ξ）是方程（6）的一个下解.又显然ψ（ξ）≡w2是方程（6）的一个上解.因此有φ（ξ）≤v（ξ）≤ψ（ξ）.特别地φ（0）≤v（0）≤w2.这就说明v（ξ）在ξ=0具有尖层性质.至此我们已构造出问题（1）、（2）的尖层解的零次形式近似

2 尖层解的存在性及渐进性质

下面运用微分不等式理论来证明尖层解的存在性以及当ε→0时解的渐近性质.

定理1在［H1］，［H2］的条件下，又假设［H3］g~（v）=g（0，u（0）+v）-g（0，u（0）是连续可微的，满足条件（10）和（11）.则存在充分小的正数ε0＞0使对每个0＜ε≤ε0，问题（1）、（2）在区间［a，b］上存在一个在t=0处具有尖层性质的解x（t，ε），且当ε→0时在［a，b］上一致地有

证明我们只考虑v（0）=c＞0的情形.在区间［a，b］上定义

其中r＞0为待定常数.由上面形式近似的构造可得

由于

其中s=u（0）+v（0），v（0）=c＞0，故s＞u（0）=uL（0）=uR（0），这说明解x（t，ε）在t=0处具有尖层性质.

通过例举一个应用定理1的例子.我们探讨边值问题

其中f（t）=t2sint，t=0是一个三阶转向点，g（t，x）=x（t-sinx）.退化方程

有一个解u（t）≡0.g~（v）=-vsinv满足

定义

题（15）、（16）有一个解x（t，ε）使得

［1］O′MALLEY Jr R E.Introduction to singular perturbation［M］.New York：Academic Press，1974.

［2］KATH W L.Slowly varying phase planes and boundary layer theory［J］.Stud Appl Math，1985，7（2）：221-239.

［3］KELLEY W.Solutions with spikes for quasilinear boundary value problems［J］.J Math Anal Appl，1992，170（2）：581-590.

［4］WEI Baoshe，ZHOU Qinde.Nonmonotone interior layer solutions for singularly perturbed semilinear boundary value prob⁃lems with turning points［J］.Northeast Math J，1996，12（2）：127-135.

［5］杜冬青，刘树德.具有高阶转向点的奇摄动边值问题的尖层解［J］.高校应用数学学报，2012，27（1）：50-56.

［6］LIU Shude，XU Huaqing.A class of semilinear boundary value problems with nonmonotone interior layer behavior［J］. Math Appl，2009，22（3）：631-636.

［7］MO Jiaqi.The solution of corner layer behavior for a singularly perturbed semilinear vector differential equation［C］.Pro⁃ceeding of Fifth International Conference on BICAM.Dublin：Boole，1988，257-261.

Spike Layer Solutions for the Quadratic Dirichlet Problem with Higher Order Turning Points

DU Dongqing1，DU Xianghan2，DONG Haiyan3
（1.Xuzhou Finance and Economics Branch，Jiangsu Union Technical Institute，221000，Xuzhou，Jiangsu，China；2.Hefei Aircraft Industry Aircraft Equipment Co.，Ltd.，240051，Hefei，Anhui，China；3.Experimental Department，Hefei Universiry，230601，Hefei，Anhui，China）

Under certain conditions and the method of composite expansions，some spike layer solutions for the quadratic Dirichlet problem with higher order turning points problems with higher order turning points are studied.Aboutformal approximation of spike layer solutions is constructed using the method of composite expansions，and the existenceg~（v）=g（0，u（0）+v）-g（0，u（0）the quadratic Dirichlet prob⁃lem with higher order turning points problems with higher order turning pointsx（t，ε）aboutt=0are studied. Asymptotic behavior of solutions is proved by theory of differential inequalities.

boundary value problems；spike layer solutions；theory of differential inequalities；singular pertur⁃bation；method of composite expansions

O 175.14

A

2095-0691（2016）03-0012-04

2016-03-22

安徽高校省级自然科学基金项目（KJ2010A153）

杜冬青（1985-），女，安徽宿州人，硕士，研究方向：应用微分方程.