恰到好处：谈综合题命制中的增加层次——以2016年四川成都卷第28题为例

☉江苏省连云港市黑林中学　许银银

恰到好处：谈综合题命制中的增加层次——以2016年四川成都卷第28题为例

☉江苏省连云港市黑林中学许银银

中考压轴题承载了区分选拔功能，命题组专家们常常要根据教学经验和大样本下学情的了解，设计出有难度、富有挑战的压轴题.值得多数人认同的压轴题风格是简洁好懂、富有生长、少算多思，又要严守国家课程标准的刚性要求.然而每年中考试卷出来之后，我们总能见到有些地区由于命题组的“个人喜好”，置教学导向和课标要求于不顾，无度链接高中解析几何的知识点，使得提前补充过高中阶段解析几何性质的考生“沾了大光”，而严守课标的师生陷入初中繁杂解法的构造与运算之中.本文关注一道2016年压轴题，先给出思路突破，再跟进命题商榷和变式打磨.

一、考题及思路突破

考题（2016年四川成都）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P、Q两点，点Q在y轴的右侧.

图1

（1）求a的值及点A、B的坐标.

（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3∶7的两部分时，求直线l的函数表达式.

（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由.

思路突破：

（2）在进入面积比为3∶7的两部分的探索之前，先算出四边形ABCD的面积.由于抛物线的解析式在上一问中已明确为可很快确定顶点所以

接下来利用直线l将四边形ABCD分为面积比为3∶7的两部分，分析可知直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：①如图2，直线l与AD交于点M；②如图3，直线l与BC交于点M.

图2　

图3　

由于直线l将四边形ABCD分为面积比为3∶7，所以其中一部分面积为四边形ABCD面积的即在图2或图3中，△AMH、△BMH的面积为3，即AH、BH边上的高为2.以下分类说明.

情况1：如图2，当直线l与AD交于点M时，过点M作MN⊥x轴于点N，由上面的分析，可得MN=2.利用MN∥DH带来的△AMN～△ADH，得比例式，可解得AN=2，ON=2，则M（-2，-2）.设直线l的解析式为y=kx+b，由于l过M（-2，-2）、H（-1，0），则解得所以直线l的解析式为y=2x+2.

情况2：如图3，当直线l与BC交于点M时，过点M作MN⊥x轴于点N，则类似地，利用△BMN～△BCO，得，则所以所以设直线l的解析式为y=kx+b，由于l过H（-1，0），则解得即直线l的解析式为

另解反思：由上面的分析，还可将两种情况统一在图4中，作直线y=-2交AD、BC于M1、M2，这也是两个符合要求的点M.

图4　

图5　

（3）构造图5这样的可能的图形辅助分析.

由线段PQ的中点为M，四边形DMPN若为菱形，有DN∥=MQ.设直线ND的解析式为y=kx+b1，由D（-1，-3），得-3=-k+b1，所以b1=k-3，所以直线ND的解析式为y=kx+ k-3.由，解得xN=3k-1，即N（3k-1，3k2-3）.

类似地，再设直线PQ的解析式为y=kx+b2.由H（-1，0），得y=kx+k.由得则x1+所以所以.再结合，可得xM-xN=xQ-xD，即解得所以所以.再验证发现，此时DN∥PM且四边形DMPN为菱形.

综上，以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，当四边形DMPN为菱形时，点N的坐标为

另解思考：如图5，也可先从直线PQ的解析式入手，设P（x1，y1）、Q（x2，y2），且过点H（-1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b.-k+b=0，则b=k，则y=kx+k.由根据根与系数的关系，有x1+x2=-2+3k.y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2.由于点M是线段PQ的中点，所以根据中点坐标公式得点

假设存在这样的N点，则直线DN∥PQ.设直线DN的解析式为y=kx+k-3.

二、导向之思与命题商榷

静心演算之后，笔者深感这道试题的繁杂，根据多年教学经验，若非人群中前5%的优秀学生，要想在考场限时独立的背景下圆满解题是很难的.特别是第（3）问，如果熟悉高中阶段解析几何中的中点坐标公式、直线与抛物线交点的灵活处理等“高位知识”，则可以快速获得思路贯通，进入运算求解，使得“多想少算”的命题追求大打折扣.以下本着个人命题研究的兴趣，围绕该考题给出变式改编.

改编题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= a（x+1）2-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点顶点为D.

（1）求四边形ABCD的面积；

（2）在抛物线的对称轴上取点G，当△BCG的周长最小时，求点G的坐标；

（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，抛物线上有一点P，若直线PH将四边形ABCD的面积分成3∶7两部分，求点P的坐标.

改编意图：将原考题第（3）问删减，主要是原问过分链接拓展了高中阶段的解析内容，如果仅从初中阶段教材上的解法来处理，又显得力量不够.而将原题的第（2）问进行适度放开，使得点P有4个可能的位置，也达到了区分选拔的功能.

三、结束语

综合题命制是一个经典话题，初中数学考卷解答题的最后一道通常是大综合，往往选择一个开阔的平台，融入一些新的数学概念或性质，渐次生长，拓展挑战，供高层次学生展示解题实力.就本文想表达的观点来看，在增设条件或增加解题层次时，一定要注意恰到好处，而不能陷入“恶性生长”的无度地步，那样既影响了试题的内容效度，也影响教学导向和数学面貌.从这个意义上说，兹事体大，而非细节，也非小事，不容忽视.

1.王东.从“形聚”到“神似”：大题命制的一种追求——2016年盐城卷第28题思路突破与命题反思［J］.中学数学（下），2016（9）.

2.周红娟.开放与放开：概念生成与例题变式的教学追求——从“三角形内角和”教学说起［J］.中学数学（下），2016（8）.Z