利用二次曲面法建立山区局部范围似大地水准面的效果分析

陈栋栋，刘长星

(1.咸阳市勘察测绘院，陕西 咸阳 712000； 2.西安科技大学，陕西 西安 710054)



利用二次曲面法建立山区局部范围似大地水准面的效果分析

陈栋栋1*，刘长星2

(1.咸阳市勘察测绘院，陕西 咸阳 712000； 2.西安科技大学，陕西 西安 710054)

研究了二次曲面法求取高程异常模型的方法，分析了二次曲面拟合GPS 高程的精度，并与水准测量的高程进行对比分析，建立了矿区的似大地水准面模型，从而达到利用GPS 高程测量替代传统低等级水准测量的目的，为应用二次曲面法拟合山区地形条件下GPS高程的理论提供了依据。

大地水准面；二次曲面法；高程异常；GPS高程

1 引 言

应用GPS卫星定位技术建立测量控制网，具有精度高、速度快、费用低等优点，目前GPS卫星定位正在取代传统的三角测量，成为建立平面控制网的重要方法，已经在测绘行业得到广泛应用[1]；但其高程测量成果却未能得到充分的利用，尤其在丘陵和山区地形条件下，GPS高程测量的精度一直是困扰着广大的测绘工作者。因此，本文以黄陵矿区地面控制网为例，研究在山区地形条件下，如何通过建立局部似大地水准面的方法来提高GPS高程测量的精度。

2 二次曲面法拟合似大地水准面原理

影响山区大地水准面起伏变化的主要原因是地形的变化，地形质量和岩石密度分布的不均匀，因此，要求出高精度的似大地水准面模型，就必须考虑重力分布和地形起伏。由于在缺乏重力资料的前提下，又要满足工程施工对高程控制的要求，我们采用GPS+几何水准的办法来求取局部似大地水准面模型。

大地水准面拟合常用的方法有加权平均、平面拟合、二次曲面拟合、多面函数拟合和最小二乘推估等。目前应用较广的是平面拟合和二次曲面拟合，平面拟合适用于范围较小的平坦或低丘地区，而本次建立模型针对的黄陵矿区属于典型的低中山山区地形，故平面拟合不适合该地区似大地水准面模型的建立。对于范围稍大的地区应把似大地水准面看成是多项式曲面，当测区起伏较大且重合点数较多时，可采用二次曲面拟合来逼近似大地水准面[1]。

由GPS相对定位得到三维基线向量网，经过三维无约束平差，可以确定高精度的GPS点间的大地高高差，如果网中有一个或多个点具有精确地WGS-84大地高程，则在GPS网平差后，可求得各GPS点的WGS-84大地高[2]。用H84表示大地高、Hr表示正常高、ζ表示高程异常。则三者之间的关系表达如下：

Hr=H84-ξ

(1)

由式(1)可以看出，要求出某点的正常高，需要知道该点的大地高和高程异常值，而大地高可以通过GPS静态测量的办法来获取，我们需要做的就是设法求取该点的高程异常值。只要求得了高程异常值ζ的数学模型，就可以推导出正常高的数学模型。

二次曲面方程为：

F(x，y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xy

(2)

其中，F(x，y)代表某点的高程异常值，x、y为该点的纵、横坐标，a0～a5为拟合方程的系数[2]。

假设采用n个点来参与模型的拟合，则根据式(2)，可列出误差方程如下：

(3)

在方程(3)中，令：

(4)

(5)

(6)

(7)

表示成矩阵运算，则有：

V=BA-L

(8)

根据最小二乘原理[2]，有：

VTPV=min

(9)

(10)

将式(10)代入式(8)，得到式(8)的解为：

A=(BTPB)-1BTPL=(BTB)-1BTL

(11)

求得a0～a5后，即可根据点位的平面坐标利用式(2)计算出该点的高程异常ζ，再结合静态GPS观测所求得的大地高，利用式(1)即可计算出该点的正常高。

3 似大地水准面模型的建立

陕西陕煤黄陵矿业有限公司黄陵一号煤矿位于陕西省延安市黄陵县店头镇，海拔约为 1 180 m～ 1 490 m左右。矿区内山峦起伏、沟壑纵横、地形复杂，属侵蚀构造地貌，为典型的低中山山区地形。

图1 矿区内GPS控制点分布图

为满足该矿区生产建设的需要，现要在该矿区约 100 km2的范围内均匀布设20个E级GPS测点，具体GPS点位布设情况如图1所示，采用中海达静态GPS接收机观测，内业数据处理采用中海达随机数据处理软件进行，并使用天宝DS03数字水准仪对所有测点施测三等水准，数据的外业采集和内业处理均满足相关规范要求。经内业数据处理，计算出所有控制点的WGS-84大地高、正常高和高程异常，具体数据如表1所示。

GPS控制点大地高、正常高和高程异常 表1

利用二次曲面拟合的方法，在矿区范围内选取9个点(CJL、CJP、D01、D02、D03、D04、E11、E12、GP01)进行二次曲面拟合，利用剩余的11个点(E01、E02、E03、E04、E05、E06、E07、E08、E09、E10、J009)作为检核。求得黄陵矿区计算正常高的模型为：

Hr=H84-ξ

=H84+14237.44642-2.94655×10-2x+2.41012×10-3y-2.95603×10-9x2-1.10897×10-10y2+1.44314×10-9xy

(12)

利用式(12)计算出拟合点和检核点的正常高，并求出大地高与正常高的差值如表2、表3所示。

参与模型拟合的拟合点的残差 表2

通过表2可以得到，模型的内符合精度为[1]：

式中：ε为参加拟合点的拟合残差，n为拟合点个数。

检核点的模型拟合正常高与实测正常高比较 表3

通过表3可以得到，模型的外符合精度为[1]：

式中：△为检核点的拟合正常高与实测正常高之差，n为检核点的个数。

GPS高程拟合的差主要包括[4]：

①GPS测量大地高误差

m1=±(10 mm+2 ppm×D)×2=±29.2 mm；

②仪器高量测误差

m2≤±2.0 mm；

③三等水准联测误差

④模型拟合误差

m内=±14.7 mm。

其中，三等水准每千米测量全中误差Mw=6 mm，控制点平均距离D=2.3 km。

计算得出GPS高程拟合的误差为：

4 结 论

在小范围的山区GPS控制网建设中，采用二次曲面法建立局部似大地水准面模型，将GPS大地高转换为正常高，进而实现GPS高程的转换，达到了图根水准测量的精度要求，可以满足一般工程施工和各种比例尺地形测图的要求，如果今后在该区域要进行其他工程的GPS测量，则无需再进行水准测量，可以直接通过该似大地水准面模型来求取测点的正常高，为工程的进行提供了方便。如果在GPS大地高转换为正常高时，能够选用更多的已知点参与模型的拟合，并且点位分布比较均匀，那么该方法建立的似大地水准面模型完全能够达到图根水准的精度。

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Analysis of Effect on Building the Quasi-geoid of Local Area in Mountain by Quadratic Surface Fitting

Chen Dongdong1，Liu Changxing2

(1.Xianyang Institute of Prospecting and Mapping，Xianyang 712000，China；2.Xi’an University of Science and Technology，Xi’an 710054，China)

This paper describes how to gain gcycmx using quadratic surface fitting. And analyses the accuracy of GPS height of quadratic surface fitting and compare with geoid height.For the purpose of the use of GPS height to alternative the low-grade leveling by building geoid height model，provides a basis for the theory of quadratic surface fitting GPS height in mountainous terrain conditions.

geoid；quadratic surface fitting；abnormal height；GPS height

1672-8262(2016)05-96-03

P228.3

B

2016—03—09

陈栋栋(1988—)，男，硕士，国家注册测绘师，主要从事测绘及生产技术管理工作。

刘长星(1963—)，男，硕士，教授，国家注册测绘师，主要从事测绘教学与科研工作。