高阶非线性薄膜方程的李对称分析

屈改珠

(渭南师范学院数理学院，陕西渭南 714000)



高阶非线性薄膜方程的李对称分析

屈改珠

(渭南师范学院数理学院，陕西渭南 714000)

利用李群分析方法研究了高阶非线性薄膜方程.首先，利用无穷小生成元方法得到了该方程的李代数及其最优系统,然后对方程进行约化,最后获得了一些具有特定物理意义的相似解.

高阶非线性薄膜方程；李对称分析；不变解

0 引言

对称群方法[1-7]是约化并求解非线性偏微分方程的有效方法之一,它是由挪威数学家Sophus Lie于19世纪末提出的，称作经典李对称群方法.该方法已广泛应用在数学、物理、工程以及非线性科学等相关领域,并产生了深远的影响.李对称群方法不仅可以研究方程的群理论性质,还可以得到与方程的完全可积性相关的某些数学特征.

本文利用李对称群方法研究2m阶非线性薄膜方程

(1)

1 方程(1)的李对称和优化系统

1.1 方程(1)的李对称分析

下面利用李对称群方法研究2m阶非线性薄膜方程(1).假定方程(1)的解集在单参数李群变换

(2)

下是不变的，且

(3)

这里Dt,Dx分别表示关于t和x的全导数算子,即

上述变换群的无穷小生成元为

(4)

(5)

将(3)式代入(5)式,同时结合方程(1)消去ut，根据u的不同阶导函数的系数函数为零经计算整理可得关于未知函数ξ,τ,η的超定系统:

(6)

考察以下三种情形.

(A)f(u)为任意函数.解方程组(6)可得

相应的3维李代数为:

(7)

(B)f(u)=up.解方程组(6)可得

相应的4维李代数为:

(8)

(C)f(u)=eau(a≠0).解方程组(6)可得

相应的4维李代数为:

(9)

1.2 方程(1)的优化系统

以下根据方程(1)允许的李对称及其交换关系，算出相应的伴随作用表示,进而利用群分析理论，给出方程(1)的优化子代数.

(A)f(u)为任意函数.方程(1)的3维子代数由V1,V2和V3构成,并有交换关系

将上面的李代数运算结果代入到伴随作用公式

中，得到生成元(7)对应的伴随作用为

AdV1V2V3V1V1V2V3-12mεV1V2V1V2V3-εV2V3e12mεV1eεV2V3

设V=a1V1+a2V2+a3V3，为了进一步简化该向量，考虑下面几种情形：

综上所述，当f(u)为任意函数时，方程(1)的最优系统为V1,V3,V2+μV1.

(B)f(u)=up.方程(1)的4维子代数由V1,V2,V3,V4构成,并有交换关系

其对应的伴随作用表示为

AdV1V2V3V4V1V1eεV2V3V4V2V1-εV2V2V3V4V3V1V2V3eεV4V4V1V2V3-eεV4V4

(C)f(u)=eau(a≠0).方程(1)的4维子代数由V1,V2,V3,V4构成,并有交换关系

其对应的伴随作用表示为

AdV1V2V3V4V1V1eεV2V3V4V2V1-εV2V2V3V4V3V1V2V3eεV4V4V1V2V3-eεV4V4

类似情形A计算方程(1)的最优系统的过程，我们得到其他两种情形的最优系统，结果见表1.

2 方程(1)的相似约化和不变解

2.1 方程(1)的相似约化

利用表1的最优系统我们得到方程(1)的三种情形对应的对称约化和群不变解,约化所得方程为常微分方程,分别由表2、表3、表4给出.

表1 方程(1)的优化系统

表2 f(u) 为任意函数时方程(1)的对称约化

表3 f(u)=up 时方程(1)的对称约化

表4 f(u)=eau 时方程(1)的对称约化

2.2 方程(1)的不变解

利用表1～4中的约化方程可以导出方程(1)的一些不变解，在此，我们仅就某些具有特定物理意义的相似解加以讨论[9,11].

(A)Source 解和sink 解.

因此，如果p>-2m，则当t→0时，u(x,t)→δ(x)，且相似解为source解；如果p<-2m，则当t→+∞时,u(x,t)→δ(x),且相似解为sink解.同时对相应的常微分方程关于z积分一次，得到(2m-1)阶常微分方程

(10)

所以当f(u)=up时,高阶薄膜方程(1)被约化为(2m-1)阶常微分方程(10)，且具有source解和sink解.

对表3中的情形5,我们取p=-2m，则相似解具有如下形式

因此，如果μ>0，则当t→-∞时,u(x,t)→δ(x)，且相似解为source解；如果μ<0，则当t→+∞时，u(x,t)→δ(x),且相似解sink解.对相应的常微分方程关于z积分一次，得到(2m-1)阶常微分方程

(11)

所以当f(u)=up时，高阶薄膜方程(1)被约化为(2m-1)阶常微分方程(11)，且具有source解和sink解.

(B)Waiting-time解.

表3中的情形1为一阶常微分方程，求解后得到高阶薄膜方程(1)具有waiting-time解

其中t0为任意常数.

(C)Blow-up解.

表4中的情形1为一阶常微分方程，求解后，得到高阶薄膜方程(1)具有解

3 结论

本文利用李群分析方法讨论了2m阶薄膜方程(1)，得到了该方程的李对称、最优系统、相似约化以及群不变解，进一步分析了方程的一些具有特定物理意义的相似解.对方程(1)的其他对称约化求解方面的研究，如非古典对称、势对称、非局域对称、势守恒律等，应是很有意义的后续工作.

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(责任编辑 马宇鸿)

Lie symmetry analysis of a higher-order thin film equation

QU Gai-zhu

(School of Mathematics and Physics,Weinan Normal University,Weinan 714000,Shaanxi,China)

In this paper,Lie symmetry analysis approach is developed to study a higher-order nonlinear thin film equation.Using the infinitesimal generators,the Lie algebras and its optimal systems of the higher-order thin film equation are derived.The equation is then reduced to the ordinary differential equations.As a result,some physical interest solutions are obtained and discussed.

higher-order nonlinear thin film equation;Lie symmetry analysis;invariant solution

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.06.004

2016-04-08;修改稿收到日期:2016-06-22

国家自然科学基金资助项目(11371293,11501419);陕西省军民融合项目(15JMR20)；渭南师范学院理工类科研项目(16ZRRC05);渭南师范学院校级特色学科建设项目(14TSXK02)

屈改珠(1978—)，女，陕西蒲城人，讲师，博士.主要研究方向为偏微分方程.E-mail:qugaizhu.hi@163.com

O 175.2

A

1001-988Ⅹ(2016)06-0018-04