化繁为简浅谈求解抽象函数问题

江西省丰城中学　张　璐

化繁为简浅谈求解抽象函数问题

江西省丰城中学张璐

抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式，只给出了其他一些条件（如：定义域、经过的特殊的点、解析递推式、部分图像特征等），它是高中数学函数部分的难点，也是与大学数学的一个衔接点.

模型化思考抽象函数数学

一、以线性函数为模型的抽象函数

体现为对一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-b①，一次函数y=ax+b便是满足函数恒等式①的最常见的模型.

例1．已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）.

⑴求证：函数f（x）是奇函数；

⑵如果x>0，f（x）<0，判断f（x）的单调性.

分析：一次函数满足题设中抽象函数的条件，这次模型化思考，无疑为我们指明了努力的方向.

⑴证明：函数f（x）定义域为R，

∵f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（0）=f（0）+f（0），从而f（0）=0，

∴f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，

即f（-x）=-f（x），

∴f（x）为奇函数.

⑵解：设x1，x2∈R，且x1

f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1），

∵x10，∴f（x2-x1）<0，

∴f（x2）

二、以二次函数为模型的抽象函数

二次函数在形上的对称性所产生的数量关系的恒等式：f（a-x）=f（a+x）②，是这类命题的基础.而②式也恰好反映了抽象函数关于x=a对称.

例2． 已知函数f（x）在[2，+∞）上为减函数，且 f（1-x）=f（3+x），试解关于x的不等式：f（2x-1）

分析：恒等式②表明了函数f（x）的图像关于直线x=2对称，此时，不必借助于满足条件的一个具体函数y=（x-2）2，也能发现f（x）在（-∞，2]上为增函数.

解：∵ f（1-x）=f（3+x），

∴f（2+x）=f（2-x），

即y=f（x）的图像关于直线x=2对称，

∵函数f（x）在[2，+∞)上为减函数，

∴函数f（x）在(-∞，2]上为增函数.

平方得3x2-14x+8>0，

三、以指数函数为模型的抽象函数

体现为对x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+ y）③，由指数函数的性质知y=ax（a>0，a≠1）是满足恒等式③的重要函数之一.

例3.设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）f（y） =f（x+y）成立，若，an=f（n）（n为正整数），则求数列{an}的前n项和Sn的范围.

解：∵x，y∈R，都有（fx）（fy）=（fx+y）且（fx）恒不为零，可知（fx）=ax，

∴数列{an}是等比数列